Yhdistetty korko

Määräajoin muodostuva muokkaus

P ′ = P (1 + rn) nt {\ displaystyle P ”= P \ vasen (1 + {\ frac {r} {n}} \ oikea) ^ {nt}}

missä:

P on alkuperäinen pääsumma P” on uusi pääsumma r on nimellinen vuotuinen korko n on yhdistämistiheys t on koron kokonaisaika (ilmaistuna käyttäen samoja aikayksiköitä kuin r, yleensä vuotta).

Kokonaiskorko on lopullinen arvo miinus alkuperäinen pääoma:

I = P (1 + rn) nt – P {\ displaystyle I = P \ left (1 + {\ frac {r} { n}} \ oikea) ^ {nt} -P}

Esimerkki 1Muokkaa

P ′ = 1500 × (1 + 0,043 4) 4 × 6 ≈ 1 938,84 {\ displaystyle P ”= 1 \, 500 \ kertaa \ vasen (1 + {\ frac {0.043} {4}} \ oikea) ^ {4 \ kertaa 6} \ noin 1 \, 938.84}

Joten uusi pääpaino P ′ {\ displaystyle P ”} jälkeen 6 vuotta on noin 1938,84 dollaria.

Vähentämällä alkuperäisen pääoman tästä summasta saadaan saatu korko:

1 938,84 – 1 500 = 438,84 {\ displaystyle 1 \, 938,84-1 \, 500 = 438.84}

Esimerkki 2Muokkaa

P ′ = 1 500 × (1 + (0,043 × 2)) 6 2 ≈ 1 921,24 {\ displaystyle P ”= 1 \, 500 \ kertaa \ vasen (1+ ( 0,043 \ kertaa 2) \ oikea) ^ {\ frac {6} {2}} \ noin 1 \, 921,24}

Saldo 6 vuoden jälkeen on siis noin 1921,24 dollaria.

saadut korot voidaan laskea vähentämällä pääoma tästä summasta.

1 921,24 – 1 500 = 421,24 {\ displaystyle 1 \, 921,24-1 \, 500 = 421 .24}

Kiinnostus on pienempi kuin edellisessä tapauksessa matalamman yhdistämistaajuuden seurauksena.

Accumulation functionEdit

Koska pääosa P on yksinkertaisesti kerroin, se pudotetaan usein yksinkertaisuuden vuoksi ja sen sijaan käytetään tuloksena olevaa kerääntymistoimintoa. Kertymäfunktio näyttää, mihin $ 1 kasvaa minkä tahansa ajan kuluttua.

Yksinkertaisen ja yhdistetyn koron kertymäfunktiot ovat

a (t) = 1 + rt {\ displaystyle a (t) = 1 + rt \,} a (t) = (1 + rn) nt {\ displaystyle a (t) = \ vasen (1 + {\ frac {r} {n}} \ oikea) ^ {nt}}

Jos nt = 1 {\ displaystyle nt = 1}, nämä kaksi toimintoa ovat samat.

Jatkuva yhdistäminenMuokkaa

As n , Yhdistelmävaiheiden lukumäärä vuodessa kasvaa ilman rajoituksia, tapaus tunnetaan jatkuvana yhdistelmänä, jolloin efektiivinen vuosikorko lähestyy er-1: n ylärajaa, jossa e on matemaattinen vakio, joka on luonnollisen logaritmi.

Jatkuvan yhdistämisen voidaan ajatella tekevän yhdistämisjaksosta äärettömän pienen, mikä saavutetaan ottamalla raja, kun n menee äärettömään. Katso tämän rajan matemaattinen todiste eksponenttifunktion määritelmistä. Määrä jatkuvan yhdistämisen t-jaksojen jälkeen voidaan ilmaista alkuperäisenä määränä P0 muodossa

P (t) = P 0 e rt. {\ displaystyle P (t) = P_ {0} e ^ {rt}.}

Kiinnostuksen voimaMuokkaa

Kun yhdistämisjaksojen lukumäärä n {\ displaystyle n} saavuttaa äärettömyyden jatkuvassa yhdistämisessä, jatkuvaa yhdistettyä korkoa kutsutaan kiinnostuksen voimaksi δ {\ displaystyle \ delta}.

Matematiikassa kertymäfunktiot ilmaistaan usein e: na, joka on luonnollisen logaritmin perusta. Tämä helpottaa laskennan käyttöä korkokaavojen manipuloinnissa.

Kaikille jatkuvasti erilaistuville kertymäfunktioille a (t) kiinnostuksen voima tai yleisemmin logaritminen tai jatkuvasti yhdistetty tuotto on ajan funktio, joka on määritelty seuraa:

δ t = a ′ (t) a (t) = ddt ln ⁡ a (t) {\ displaystyle \ delta _ {t} = {\ frac {a ”(t)} {a (t )}} = {\ frac {d} {dt}} \ ln a (t)}

Tämä on kertymäfunktion logaritminen johdannainen.

Käänteisesti:

a (t ) = e ∫ 0 t δ sds, {\ displaystyle a (t) = e ^ {\ int _ {0} ^ {t} \ delta _ {s} \, ds} \,} (koska a (0) = 1 {\ displaystyle a (0) = 1}; tätä voidaan pitää tuotegallerian erityistapauksena).

Kun yllä oleva kaava kirjoitetaan differentiaaliyhtälömuodossa, kiinnostava voima on yksinkertaisesti kerroin muutoksen määrä:

da (t) = δ ta (t) dt {\ displaystyle da (t) = \ delta _ {t} a (t) \, dt \,}

Yhdistetylle korolle vakio vuotuinen korko r, koron voima on vakio t ja koron yhdistämisen kertymäfunktio kiinnostuksen voimana on yksinkertainen e: n voima:

δ = ln ⁡ (1 + r) {\ displaystyle \ delta = \ ln (1 + r) \, } tai a (t) = et δ {\ displaystyle a (t) = e ^ {t \ delta} \,}

Kiinnitysvoima on pienempi kuin vuotuinen efektiivinen korko, mutta suurempi kuin vuotuinen efektiivinen alennus korko. Se on e-taittoajan vastavuoroisuus. Katso myös korkojen merkinnät.

Compounding baseEdit

Jos haluat muuntaa korkotason yhdestä korotusperusteesta toiseen, käytä

r 2 = n 2, {\ displaystyle r_ {2} = \ vasen {n_ {2}},}

missä1 on korko korotetaajuudella n1, jar2 on korko taajuudella n2.

Kun kiinnostus kasvaa jatkuvasti, käytä

δ = n ln ⁡ (1 + rn), {\ displaystyle \ delta = n \ ln {\ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ oikealla)},}

missä δ {\ displaystyle \ delta} on korko jatkuvasti laskettaessa, jar on ilmoitettu korko, jonka korotustiheys on n.

Kuukausittainen lyhennetty laina tai kiinnitys paymentsEdit

Lainojen ja asuntolainojen korot, jotka on amortoitu – ts. joustavat kuukausimaksut, kunnes laina on maksettu takaisin, lisääntyvät usein kuukausittain. Maksukaava löytyy seuraavasta argumentista.

Tarkka kuukausimaksun kaavaEdit

Tarkka kuukausimaksun kaava (c {\ displaystyle c}) on

c = P r 1 – 1 (1 + r) n {\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1 – {\ frac {1} {(1 + r) ^ {n}}}}}}} p > tai vastaavasti c = P r 1 – e – n ln ⁡ (1 + r) {\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1-e ^ {- n \ ln (1 + r)} }}}

missä:

c {\ displaystyle c} = kuukausimaksu P {\ displaystyle P} = pääoma r {\ displaystyle r} = kuukausikorko n {\ displaystyle n} = maksujaksojen määrä

Tämä voidaan johtaa tarkastelemalla, kuinka paljon on vielä maksettava takaisin jokaisen kuukauden jälkeen.
Ensimmäisen kuukauden jälkeen jäljellä oleva päämies on

P 1 = (1 + r) P – c, {\ displaystyle P_ {1} = (1 + r) Pc,}

eli alkuperäinen summa plus korko vähennettynä maksulla.
Jos koko laina maksetaan takaisin kuukauden kuluttua,

P 1 = 0 {\ displaystyle P_ {1} = 0}, joten P = c 1 + r {\ displaystyle P = {\ frac {c} {1 + r}}}

Toisen kuukauden jälkeen P 2 = (1 + r) P 1 – c {\ displaystyle P_ {2} = (1 + r) P_ {1} -c} on jäljellä, joten

P 2 = (1 + r) ((1 + r) P – c) – c {\ displaystyle P_ {2} = (1 + r) ((1 + r) Pc) -c}

Jos koko laina maksettiin takaisin kahden kuukauden kuluttua,

P 2 = 0 {\ displaystyle P_ {2} = 0}, joten P = c 1 + r + c (1 + r) 2 {\ displaystyle P = {\ frac {c} {1 + r}} + {\ frac {c} {(1 + r) ^ {2}}}} P = cr (1 – 1 (1 + r) n) {\ displaystyle P = {\ frac {c} {r}} \ vasen (1 – {\ frac {1} {(1 + r) ^ {n}}} \ oikea)}

joka voidaan järjestää uudelleen antamaan

c = P r 1 – 1 (1 + r) n = P r 1 – e – n ln ⁡ (1 + r) {\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1 – {\ frac {1} { (1 + r) ^ {n}}}}}} = {\ frac {Pr} {1-e ^ {- n \ ln (1 + r)}}}} Laskentataulukon kaava

Laskentataulukoissa PMT ( ) -toimintoa käytetään. Syntaksi on:

PMT (kiinnostuksen_nopeus, lukumaksut, nykyinen_arvo, tulevaisuuden_arvo,)

Katso lisätietoja Excelistä, Mac-numeroista, LibreOffice, Open Office, Google Sheets.

Esimerkiksi korko 6% (0,06 / 12), 25 vuotta * 12 pa, PV 150 000 dollaria, FV 0, tyyppi 0 antaa:

= PMT (0,06 / 12, 25 * 12, -150000, 0, 0) = 966,45 dollaria

Arvioitu kaava kuukausimaksulleMuokkaa

c ≈ P r 1 – e – nr = P nnr 1 – e – nr {\ displaystyle c \ noin {\ frac {Pr} {1-e ^ {-nr}}} = {\ frac {P} {n}} {\ frac {nr} {1-e ^ {- nr}}}}}

joka ehdottaa apumuuttujien määrittelemistä

Y ≡ nr = IT {\ displaystyle Y \ equiv nr = IT} c 0 ≡ P n {\ displaystyle c_ {0} \ equiv {\ frac {P} {n}}}.

Tässä c 0 {\ displaystyle c_ {0}} on kuukausimaksu, joka vaaditaan nolla-korolliselle lainalle, joka maksetaan n {\ displaystyle n} erässä. Näiden muuttujien suhteen lähentyminen voidaan kirjoittaa

c ≈ c 0 Y 1 – e – Y, {\ displaystyle c \ noin c_ {0} {\ frac {Y} {1-e ^ {- Y}} },}

Funktio f (Y) ≡ Y 1 – e – Y – Y 2 {\ displaystyle f (Y) \ equiv {\ frac {Y} {1-e ^ {- Y}}} – { \ frac {Y} {2}}} on tasainen:

f (Y) = f (- Y) {\ displaystyle f (Y) = f (-Y)}

tarkoittaa, että sitä voidaan laajentaa Y: n {\ displaystyle Y} tasaisina voimina.

Sitten on kätevää määritellä

X = 1 2 Y = 1 2 IT {\ displaystyle X = {\ frac {1} { 2}} Y = {\ frac {1} {2}} IT}

niin, että

c ≈ c 0 2 X 1 – e – 2 X {\ displaystyle c \ approx c_ {0} {\ frac {2X} {1-e ^ {- 2X}}}}}

joka voidaan laajentaa:

c ≈ c 0 (1 + X + X 2 3 – 1 45 X 4 +..) {\ displaystyle c \ approx c_ {0} \ left (1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {3}} – {\ frac {1} {45}} X ^ {4} + … \ right)}

missä ellipsiot ilmaisevat termejä, jotka ovat korkeammassa järjestyksessä X: n parillisissa tehoissa {\ displaystyle X}. Laajennus

P ≈ P 0 (1 + X + X 2 3) {\ displaystyle P \ noin P_ {0} \ vasen (1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {3}} \ oikea)}

on parempi kuin 1% edellyttäen, että X ≤ 1 {\ displaystyle X \ leq 1}.

Esimerkki asuntolainan maksustaMuokkaa

10000 dollarin asuntolainalle, jonka 30 vuoden laina ja 4,5 prosentin korko, maksettava vuosittain, löydämme:

T = 30 {\ displaystyle T = 30} I = 0.045 {\ displaystyle I = 0.045}

mikä antaa

X = 1 2 IT = .675 {\ displaystyle X = {\ frac {1} {2}} IT = .675}

niin, että

P ≈ P 0 (1 + X + 1 3 X 2) = 333,33 dollaria (1 +, 675 +, 675 2/3) = 608,96 dollaria {\ displaystyle P \ noin P_ {0} \ vasen (1 + X + {\ frac {1} {3}} X ^ {2} \ right) = \ $ 333.33 (1 + .675 + .675 ^ {2} / 3) = \ $ 608.96}

Sijoittaminen: kuukausitalletuksetMuokkaa

Kun otetaan huomioon pää- (alkuperäinen) talletus ja toistuva talletus, sijoituksen kokonaistuotto voidaan laskea aikayksikköä kohti saadun koron avulla. Tarvittaessa myös muiden kertaluonteisten ja toistuvien talletusten korko voidaan määritellä samassa kaavassa (katso alla).

P {\ displaystyle P} = Päätalletus r {\ displaystyle r} = Tuottoprosentti ( kuukausittain) M {\ displaystyle M} = Kuukausitalletus ja t {\ displaystyle t} = Aika kuukausina M (1 + r) t – 1 r + P (1 + r) t {\ displaystyle M {\ frac { (1 + r) ^ {t} -1} {r}} + P (1 + r) ^ {t}}

Jos esiintyy kahta tai useampaa talletustyyppiä (joko toistuvia tai kertaluonteisia), yhdiste ansaittu korko voidaan esittää muodossa

M (r + 1) t – 1 r + P (r + 1) t + k (r + 1) t – x – 1 r + C (r + 1) t – y {\ displaystyle M {\ frac {(r + 1) ^ {t} -1} {r}} + P (r + 1) ^ {t} + k {\ frac {(r + 1) ^ {tx } -1} {r}} + C (r + 1) ^ {ty}}, missä C ja k ovat vastaavasti kertaluonteisia ja toistuvia talletuksia, ja x ja y ovat uuden talletuksen ja kumman tahansa muuttujan väliset aikaerot t {\ displaystyle t} on mallinnus.