Keskeiset käsitteet
Matematiikka
Todennäköisyys
Tilastot
Johdanto
Oletko Oletko koskaan huomannut kuinka joskus loogiselta vaikuttava osoittautuu vääräksi pienellä matematiikalla? Esimerkiksi kuinka monta ihmistä luulet tarvitsevasi keskimäärin tutkia kaksi ihmistä, joilla on sama syntymäpäivä? Todennäköisyyden vuoksi joskus tapahtuma tapahtuu todennäköisemmin kuin uskomme sen. Tässä tapauksessa, jos tutkit vain satunnaisen ryhmän, jossa on vain 23 ihmistä, on todellakin noin 50–50 mahdollisuus, että kahdella heistä on sama syntymäpäivä. Tätä kutsutaan syntymäpäivän paradoksiksi. Etkö usko sen olevan totta? Voit testata sitä ja nähdä matemaattisen todennäköisyyden toiminnassa!
Tausta
Syntymäpäiväjärjestys, joka tunnetaan myös syntymäpäiväongelmana, kertoo, että 23 ihmisen satunnaisessa ryhmässä on noin 50 prosentin mahdollisuus että kahdella ihmisellä on sama syntymäpäivä. Onko tämä todella totta? On useita syitä, miksi tämä tuntuu paradoksilta. Yksi on se, että ollessaan huoneessa, jossa on 22 muuta ihmistä, jos henkilö vertaa syntymäpäiväänsä muiden ihmisten syntymäpäiviin, se tekisi vain 22 vertailua – vain 22 mahdollisuutta ihmisille jakaa sama syntymäpäivä.
Mutta kun kaikkia 23 syntymäpäivää verrataan toisiinsa, se tekee paljon enemmän kuin 22 vertailua. Kuinka paljon enemmän? Ensimmäisellä henkilöllä on 22 vertailua, mutta toista henkilöä verrattiin jo ensimmäiseen henkilöön, joten on vain 21 vertailua. Kolmannella henkilöllä on sitten 20 vertailua, neljännellä on 19 ja niin edelleen. Jos lasket yhteen kaikki mahdolliset vertailut (22 + 21 + 20 + 19 +… +1), summa on 253 vertailua tai yhdistelmää. Näin ollen jokaiseen 23 hengen ryhmään sisältyy 253 vertailua tai 253 mahdollisuutta sopia syntymäpäiviin.
Materiaalit
• 23 tai useamman ihmisen ryhmät (10–12 tällaista ryhmää) tai lähde, jolla on satunnaisia syntymäpäiviä (katso alla oleva valmistelu vinkkejä)
• Paperi ja kynä tai lyijykynä
• Laskin (valinnainen)
Valmistelu
• Kerää syntymäpäivät satunnaisille ryhmille, joissa on vähintään 23 henkilöä. Ihannetapauksessa sinun pitäisi hankkia 10-12 ryhmää, joissa on vähintään 23 henkilöä, jotta sinulla on tarpeeksi erilaisia ryhmiä vertailua varten. (Et tarvitse vuotta syntymäpäiville, vain kuukausi ja päivä.)
• Vinkki: Tässä on muutama tapa löytää joukko satunnaisesti ryhmiteltyjä ihmisiä: Pyydä koulun opettajia välittämään luettelo jokaisen ympärille luokkiinsa keräämään luokan opiskelijoiden syntymäpäivät (useimmissa kouluissa on luokassa noin 25 oppilasta); käyttämään pääliigan baseball-joukkueiden pelaajien syntymäpäiviä (nämä tiedot löytyvät helposti Internetistä) tai käyttämään syntymäpäiviä muita satunnaisia ihmisiä, jotka käyttävät online-lähteitä.
Menettely
• Lajittele jokaisen vähintään 23 syntymäpäivän ryhmän kohdalla, onko kussakin ryhmässä syntymäpäiväotteluita.
• Kuinka monta Ryhmissäsi on kaksi tai useampia ihmisiä, joilla on sama syntymäpäivä? Kuinka monta ryhmää luulet syntymäpäiväparadoksin perusteella, että sinulla on kaksi samaa syntymäpäivää edustavaa ryhmää? Pitääkö syntymäpäiväparadoksi paikkansa?
• Extra: Tässä käytit ryhmää, jossa oli vähintään 23 henkilöä, mutta voit kokeilla sitä suuremmilla ryhmillä käytä 366 hengen ryhmää – suurin määrä päiviä vuodessa voi olla – kerroin, että kahdella ihmisellä on sama syntymäpäivä, on 100 prosenttia (lukuun ottamatta 29. helmikuuta karkausvuoden syntymäpäiviä), mutta mitkä ovat mielestäsi kertoimet ryhmässä 60 tai 75 ihmistä?
• Extra: Nopan heittäminen on hyvä tapa tutkia todennäköisyyttä. Voit yrittää heittää kolme 10-puolista noppaa ja viisi kuusi-puolista noppaa 100 kertaa kukin ja tallentaa kunkin rullan tulokset. Laske matemaattinen todennäköisyys saada suurempi kuin 18 summa kullekin nopan yhdistelmälle heitettäessä niitä 100 kertaa. (Tämä verkkosivusto voi opettaa sinulle, kuinka todennäköisyys lasketaan: Todennäköisyyksien keskiarvo Oracle ThinkQuestilta.) Millä yhdistelmällä on suurempi matemaattinen todennäköisyys, ja oliko tämä totta, kun heitit niitä?
Havainnot ja tulokset
Suoritti noin 50 prosenttia 23 tai useamman hengen ryhmiin kuuluu vähintään kaksi henkilöä, joilla on sama syntymäpäivä?
Kun verrataan todennäköisyyksiä syntymäpäiviin, voi olla helpompaa tarkastella todennäköisyyttä, että ihmiset eivät jaa syntymäpäivää. Henkilön syntymäpäivä on yksi 365 mahdollisuudesta (lukuun ottamatta 29. helmikuuta syntymäpäiviä). Todennäköisyys, että henkilöllä ei ole samaa syntymäpäivää kuin muulla henkilöllä, on 364 jaettuna 365: llä, koska on 364 päivää, jotka eivät ole henkilön syntymäpäivä . Tämä tarkoittaa, että kahdella ihmisellä on 364/365 eli 99,726027 prosenttia mahdollisuus olla vastaamatta syntymäpäiviä.
Kuten aiemmin mainittiin, 23 hengen ryhmässä on 253 vertailua tai yhdistelmää, jotka voivat olla tehty. Joten emme tarkastele vain yhtä vertailua, vaan 253 vertailua. Jokaisella 253 yhdistelmällä on samat kertoimet, 99,726027 prosenttia, ettei se ole ottelu. Jos kerrot 99,726027 prosenttia 99: llä.726027 253 kertaa tai laskea (364/365) 253, löydät 49,952 prosentin todennäköisyyden, että kaikki 253 vertailua eivät sisällä yhtäläisyyksiä. Näin ollen kerroin syntymäpäiväottelun järjestämisestä näissä 253 vertailussa on 1 – 49,952 prosenttia = 50,048 prosenttia tai hieman yli puolet! Mitä enemmän kokeita suoritat, sitä lähempänä todellisen todennäköisyyden tulisi lähestyä 50 prosenttia.
Lisää tutkittavaa
”Understanding the Birthday Paradox”, BetterExplained
”Probability Central” Oraclesta ThinkQuest – ”Yhdistelmät ja permutaatiot” MathIsFunilta – ”Syntymäpäivän paradoksi” tiedekavereilta
Tämä toiminto toi sinulle yhteistyössä tiedekaverien kanssa