Eksponentiaalijakauma on yksi laajalti käytetyistä jatkuvista jakeluista. Sitä käytetään usein tapahtumien välisen ajan mallintamiseen. Määritämme nyt matemaattisesti eksponentiaalijakauman ja johdamme sen keskimääräisen ja odotetun arvon. Sitten kehitämme intuitiota jakeluun ja keskustelemme useista sen mielenkiintoisista ominaisuuksista.

Kuvassa 4.5 on esitetty eksponentiaalijakauman PDF-tiedosto useille $ \ lambda $ -arvoille.

Anna $ X \ sim Exponential (\ lambda) $. Löydämme sen odotetun arvon seuraavasti käyttämällä osien integraatiota:

Löydetään nyt Var $ (X) $. Meillä on

Siten, saamme $$ \ textrm {Var} (X) = EX ^ 2- (EX) ^ 2 = \ frac {2} {\ lambda ^ 2} – \ frac {1} {\ lambda ^ 2} = \ frac { 1} {\ lambda ^ 2}. $$

Eksponentiaalijakauman mielenkiintoinen ominaisuus on, että sitä voidaan tarkastella jatkuvana analogina. Jos haluat nähdä tämän, muista satunnainen kokeilu geometrisen jakauman takana: heität kolikon (toista Bernoulli-koe), kunnes havaitset ensimmäiset päät (menestys). Oletetaan nyt, että kolikon heitot ovat $ \ Delta $ sekunnin välein ja jokaisessa heitossa onnistumisen todennäköisyys on $ p = \ Delta \ lambda $. Oletetaan myös, että $ \ Delta $ on hyvin pieni, joten kolikonheitot ovat ajallisesti hyvin lähellä toisiaan ja onnistumisen todennäköisyys jokaisessa kokeessa on hyvin alhainen. Olkoon $ X $ aika, jolloin tarkkailet kuusta ensimmäinen menestys. Näytämme Ratkaistut ongelmat -osiossa, että $ X $: n jakauma lähentyy $ Exponential (\ lambda) $: ksi, kun $ \ Delta $ lähestyy nollaa.

Saadaksesi intuitiota tälle eksponentiaalijakauman tulkinnalle , oletetaan, että odotat tapahtuman tapahtumista. Olet esimerkiksi kaupassa ja odotat seuraavaa asiakasta. Jokaisessa millisekunnissa todennäköisyys uuden asiakkaan saapumiselle myymälään on hyvin pieni. Voit kuvitella, että jokaisessa millisekunnissa kolikko (jossa on hyvin pieni $ P (H) $) heitetään, ja jos se laskeutuu, uusi asiakas tulee. Jos heität kolikkoa millisekunnin välein, uuden asiakkaan saapumiseen kuluva aika seuraa suunnilleen eksponentiaalijakaumaa.

Yllä oleva eksponentiaalitulkinta on hyödyllinen eksponentiaalijakauman ominaisuuksien ymmärtämisessä. Tärkein näistä ominaisuuksista on, että eksponentiaalijakauma on muistiton. Jos haluat nähdä tämän, ajattele eksponentiaalista satunnaismuuttujaa siinä mielessä, että heität paljon kolikoita, kunnes havaitset ensimmäiset päät. Jos heitämme kolikkoa useita kertoja emmekä tarkkaile päätä, se on nyt kuin aloitamme alusta. Toisin sanoen epäonnistuneet kolikonheitot eivät vaikuta odotusaikojen jakautumiseen tästä eteenpäin. Syynä tähän on se, että kolikonheitot ovat riippumattomia. Voimme sanoa tämän muodollisesti seuraavasti: $$ P (X > x + a | X > a) = P (X > x). $$

Odotusaikasta asiakkaan saapumiseen asti muistiton ominaisuus tarkoittaa, että ei ole väliä kuinka kauan olet odottanut niin kaukana. Jos et ole havainnut asiakasta vasta ajassa $ a $, odotusajan jakauma (ajankohdasta $ a $) seuraavaan asiakkaaseen on sama kuin aloitit hetkellä nolla. Todistetaan eksponentiaalijakauman muistiton ominaisuus. \ Begin {tasaa}% \ label {} \ nonumber P (X > x + a | X > a) & = \ frac {P \ iso (X > x + a, X > a \ iso)} {P (X > a)} \\ \ nonumber & = \ frac {P (X > x + a)} {P (X > a)} \\ \ nonumber & = \ frac {1-F_X (x + a)} {1-F_X (a)} \\ \ nonumber & = \ frac {e ^ { – \ lambda (x + a)}} {e ^ {- \ lambda a}} \\ \ nonumber & = e ^ {- \ lambda x} \\ \ nonumber & = P (X > x). \\ \ end {tasaus}