Hänen teoksensa
Archimedes on kirjoittanut yhdeksän olemassa olevaa tutkielmaa kreikaksi. Pallon ja sylinterin (kahdessa kirjassa) pääasialliset tulokset ovat, että minkä tahansa säteen r pallon pinta-ala on neljä kertaa sen suurimman ympyrän pinta-ala (nykymerkinnässä S = 4πr2) ja että pallon tilavuus on kaksi kolmasosaa sylinteristä, johon se on merkitty (mikä johtaa välittömästi tilavuuden kaavaan, V = 4 / 3πr3). Archimedes oli tarpeeksi ylpeä jälkimmäisestä löydöksestä jättääkseen ohjeet haudalleen merkitsemällä palloon, joka oli kirjoitettu sylinteriin. Marcus Tullius Cicero (106–43 eKr.) Löysi haudan kasvillisuudesta umpeen puolitoista vuosisataa Archimedesin kuoleman jälkeen.
Encyclopædia Britannica, Inc.
Ympyrän mittaus on fragmentti pidemmästä työstä, jossa π (pi), kehän suhde ympyrän halkaisijaan, osoitetaan olevan raja-arvojen 3 10/71 ja 3 1/7 välillä. Archimedeksen lähestymistapa π: n määrittämiseen, joka koostuu säännöllisten, monipuolisten polygonien kirjoittamisesta ja rajoittamisesta, noudatti kaikkia, kunnes Intiassa tapahtui loputon sarjalaajeneminen 1400-luvulla ja Euroopassa 1700-luvulla. Tämä työ sisältää myös tarkat likiarvot (ilmaistuna kokonaislukujen suhdeluvuina) 3: n ja useiden suurten lukujen neliöjuuriin.
On Conoids and Spheroids käsitellään kiinteiden aineiden segmenttien tilavuuden määrittämistä kartiomainen osa (ympyrä, ellipsi, paraboli tai hyperboli) akselinsa ympäri. Nykyaikaisella tavalla nämä ovat integraation ongelmia. (Ks. Laskenta.) Spiraaleilla on monia ominaisuuksia, jotka koskevat Archimedesin spiraalin tangenttien ja niihin liittyvien alueiden ominaisuuksia – ts. Pisteen sijainti, joka liikkuu tasaisella nopeudella suoraa viivaa pitkin, joka itse pyörii tasaisella nopeudella kiinteän pisteen ympäri. . Se oli yksi harvoista kaarista suoran ja kartion osien ulkopuolella, jotka tunnettiin antiikin ajoissa.
Tasojen tasapainossa (tai tasojen painopisteissä; kahdessa kirjassa) on pääasiassa kyse eri suoraviivaisten tasokuvioiden painopisteet sekä parabolan ja paraboloidin segmentit. Ensimmäisessä kirjassa pyritään luomaan ”vivun laki” (suuruudet tasapainottuvat etäisyydellä tukipisteestä käänteisessä suhteessa niiden painoon), ja lähinnä tämän tutkielman perusteella Archimedesta on kutsuttu teoreettisen mekaniikan perustajaksi. Suuri osa tästä kirjasta ei kuitenkaan epäilemättä ole aito, ja se koostuu epäpätevistä myöhemmistä lisäyksistä tai uudistuksista, ja näyttää todennäköiseltä, että vivun lain perusperiaate ja – mahdollisesti – painopisteen käsite vahvistettiin Archimedesia aikaisempien tutkijoiden matemaattisella pohjalla. Hänen panoksensa oli pikemminkin näiden käsitteiden laajentaminen kartioleikkauksiin.
Parabolan kvadratuuri osoittaa ensin ”mekaanisilla” keinoilla (kuten jäljempänä käsitellyssä menetelmässä) ja sitten tavanomaisilla geometrisilla menetelmillä, että minkä tahansa parabolan segmentin pinta-ala on 4/3 kolmion pinta-alasta, jolla on sama pohja ja korkeus kuin tällä segmentillä. Se on jälleen ongelma integraatiossa.
Sand-Reckoner on pieni tutkielma, joka on maallikolle kirjoitettu jeu desprit – se on osoitettu Gelonille, Hieronin pojalle – joka kuitenkin sisältää jonkin verran omaperäistä matematiikkaa. Sen tarkoituksena on korjata kreikkalaisen numeerisen merkintäjärjestelmän puutteet osoittamalla, kuinka ilmaista valtava määrä – hiekanjyvien määrä, joka tarvitaan koko maailmankaikkeuden täyttämiseen. Archimedes tekee itse asiassa luomaan paikka-arvo-notaatiojärjestelmän, jonka perusta on 100 000 000. (Se oli ilmeisesti täysin alkuperäinen ajatus, koska hänellä ei ollut tietoa nykyaikaisesta Babylonian paikanarvojärjestelmästä, jonka perusta oli 60.) Teos on kiinnostava myös siksi, että siinä annetaan yksityiskohtaisin selviytynyt kuvaus Samoksen Aristarchuksen heliosentrisestä järjestelmästä ( n. 310–230 eaa) ja koska se sisältää kertomuksen nerokkaasta menettelystä, jota Archimedes käytti määrittämään auringon näennäishalkaisijan mittaamalla instrumenttia.
Mekaanisia lauseita koskeva menetelmä kuvaa matematiikan löytöprosessia. . Se on ainoa antiikista säilynyt teos ja yksi harvoista ajanjaksolta, joka käsittelee tätä aihetta.Siinä Archimedes kertoo, kuinka hän käytti ”mekaanista” menetelmää päästäkseen joihinkin keskeisiin löytöihinsä, mukaan lukien parabolisen segmentin pinta-ala sekä pallon pinta-ala ja tilavuus. Tekniikka koostuu kahden kuvan jakamisesta loputtomaksi. mutta yhtä monta äärettömän ohutta nauhaa, sitten ”punnitaan” näiden vastaavien parien nämä nauhat toisiaan vastaan nimellistasapainolla kahden alkuperäisen kuvan suhteen saamiseksi. Archimedes korostaa, että vaikka tämä menettely on hyödyllinen heuristisena menetelmänä, se ei ole tiukka todiste.
Kelluvat elimet (kahdessa kirjassa) selviävät vain osittain kreikaksi, loput kreikan kielen keskiaikaisessa latinankielisessä käännöksessä. . Se on ensimmäinen tunnettu vesihydraattista työtä, jonka perustajana tunnustetaan Archimedes. Sen tarkoituksena on määrittää asemat, jotka erilaiset kiinteät aineet ottavat nesteessä kelluessaan, niiden muodon ja ominaispainojen vaihtelun mukaan. Ensimmäisessä kirjassa vahvistetaan useita yleisiä periaatteita, erityisesti se, mikä on tullut tunnetuksi Archimedeksen periaatteeksi: nestettä tiheämpi kiinteä aine on upotettuna nesteeseen kevyempi syrjäytettävän nesteen painolla. Toinen kirja on matemaattinen kiertue, jota ei ole verrattu antiikkiin ja joka on harvoin tasoittunut siitä lähtien. Siinä Archimedes määrittää eri vakausasennot, jotka oikeanlainen paraboloidi vallitsee, kun kelluu suuremman ominaispainon omaavassa nesteessä, geometristen ja hydrostaattisten vaihtelujen mukaan.
Archimedes tunnetaan myöhempien kirjoittajien viitteistä, olla kirjoittanut useita muita teoksia, jotka eivät ole säilyneet. Erityisen mielenkiintoisia ovat katoptriaa käsittelevät tutkielmat, joissa hän keskusteli muun muassa taittumisilmiöstä; 13 puoliregulaarisella (Arkhimedean) polyhedralla (ne elimet, joita rajaavat säännölliset polygonit, eivät välttämättä kaikki samantyyppisiä, jotka voidaan kirjoittaa palloon); ja ”Nautakarjaongelma” (säilynyt kreikkalaisessa epigrammassa), joka aiheuttaa ongelman määrittelemättömässä analyysissä, kahdeksalla tuntemattomalla. Näiden lisäksi on olemassa useita arabiaksi käännettyjä teoksia, jotka Archimedesille on annettu, joita hän ei voi säveltää nykyisessä muodossaan, vaikka ne saattavat sisältää ”arkhimedean” elementtejä. Näihin kuuluu työ tavallisen seiskan kirjoittamisesta ympyrään; kokoelma lemmoja (lauseet, joiden oletetaan olevan todenmukaisia ja joita käytetään lauseen todistamiseen), ja kirja koskien ympyröitä, jotka molemmat liittyvät alkeistasotasoon; ja Stomachion (joiden osia säilyy myös kreikaksi), jotka käsittelevät 14 osaan jaettua neliötä pelille tai palapelille.
Archimedesin matemaattiset todisteet ja esitys osoittavat suurta rohkeutta ja omaperäisyyttä toisaalta äärimmäisen tiukalla, täyttäen nykyaikaisen geometrian korkeimmat vaatimukset. Vaikka menetelmä osoittaa, että hän saavutti pallon pinta-alan ja tilavuuden kaavat ”mekaanisella” päättelyllä, johon sisältyi äärettömät pienet, todellisissa todisteissaan pallosta ja sylinteristä saaduista tuloksista hän käyttää vain tiukkoja peräkkäisen äärellisen lähentämisen menetelmiä, jotka olivat olleet Eudoxus of Cnidus on keksinyt 4. vuosisadalla eKr. Nämä menetelmät, joiden mestarina Archimedes oli, ovat vakiomenettely kaikissa hänen korkeamman geometrian teoksissaan, joissa käsitellään alueiden ja tilavuuksien tulosten todistamista. ensimmäisten integraalilaskennan harjoittajien ”todisteisiin” 1700-luvulla, kun äärettömät ihmiset palautettiin matematiikkaan. Archimedesin tulokset eivät kuitenkaan ole yhtä vaikuttavia kuin heidän. Sama vapaus perinteisistä ajattelutavoista näkyy Sand-Reckonerin aritmeettisessa kentässä, mikä osoittaa syvällisen ymmärryksen numeerisen järjestelmän luonteesta.
Antiikin aikana Archimedes tunnettiin myös erinomaisena tähtitieteilijänä: Hipparchus (kukoisti noin 140 eKr.), tärkein muinainen tähtitieteilijä, käytti hänen havainnojaan päivänseisauksista. Archimedeksen toiminnan tältä puolelta tiedetään hyvin vähän, vaikka Sand-Reckoner paljastaa innokkaan tähtitieteellisen kiinnostuksensa ja käytännön havainnointikykynsä. Hänelle on kuitenkin annettu joukko numeroita, jotka antavat taivaankappaleiden etäisyydet maasta, jonka on osoitettu perustuvan ei havaittuihin tähtitieteellisiin tietoihin, vaan ”Pythagoraan” -teoriaan, joka yhdistää alueiden väliset tilavälit. planeettoja musiikillisin väliajoin. Yllättävää onkin löytää nämä metafyysiset spekulaatiot harjoittavan tähtitieteilijän työstä, mutta on hyvä syy uskoa, että heidän omistamansa Archimedes on oikea.