Conceptos clave
Matemáticas
Probabilidad
Estadística
Introducción
¿Ha ¿Alguna vez has notado cómo a veces lo que parece lógico resulta ser falso con un poco de matemáticas? Por ejemplo, ¿cuántas personas crees que se necesitarían para encuestar, en promedio, para encontrar dos personas que comparten el mismo cumpleaños? Debido a la probabilidad, a veces es más probable que ocurra un evento de lo que creemos. En este caso, si encuesta a un grupo aleatorio de solo 23 personas, en realidad hay una probabilidad de 50 a 50 de que dos de ellos tengan el mismo cumpleaños. Esto se conoce como la paradoja del cumpleaños. ¿No crees que es verdad? ¡Puede probarlo y ver la probabilidad matemática en acción!
Antecedentes
La paradoja del cumpleaños, también conocida como el problema del cumpleaños, establece que en un grupo aleatorio de 23 personas, hay un 50 por ciento de probabilidades que dos personas tienen el mismo cumpleaños. ¿Es esto realmente cierto? Hay múltiples razones por las que esto parece una paradoja. Una es que cuando está en una habitación con otras 22 personas, si una persona compara su cumpleaños con los cumpleaños de las otras personas, solo haría 22 comparaciones, solo 22 oportunidades para que las personas compartan el mismo cumpleaños.
Pero cuando se comparan los 23 cumpleaños entre sí, se obtienen más de 22 comparaciones. ¿Cuánto más? Bueno, la primera persona tiene 22 comparaciones para hacer, pero la segunda persona ya fue comparada con la primera persona, por lo que solo hay 21 comparaciones para hacer. La tercera persona tiene 20 comparaciones, la cuarta tiene 19 y así sucesivamente. Si suma todas las comparaciones posibles (22 + 21 + 20 + 19 +… +1), la suma es 253 comparaciones o combinaciones. En consecuencia, cada grupo de 23 personas implica 253 comparaciones, o 253 posibilidades de que coincidan los cumpleaños.
Materiales
• Grupos de 23 o más personas (de 10 a 12 de estos grupos) o una fuente con cumpleaños aleatorios (consulte Preparación a continuación para consejos)
• Papel y bolígrafo o lápiz
• Calculadora (opcional)
Preparación
• Reúna los cumpleaños de grupos aleatorios de 23 o más personas. Idealmente, debería tener de 10 a 12 grupos de 23 o más personas para tener suficientes grupos diferentes para comparar. (No necesitas el año para los cumpleaños, solo el mes y el día).
• Sugerencia: aquí tienes algunas formas de encontrar un número de personas agrupadas al azar: Pídeles a los maestros de la escuela que pasen una lista a cada uno. de sus clases para recopilar los cumpleaños de los estudiantes en la clase (la mayoría de las escuelas tienen alrededor de 25 estudiantes en una clase); use los cumpleaños de los jugadores de los equipos de béisbol de las grandes ligas (esta información se puede encontrar fácilmente en Internet); o use los cumpleaños de otras personas al azar que utilizan fuentes en línea.
Procedimiento
• Para cada grupo de 23 o más cumpleaños que recopiló, ordene para ver si hay coincidencias de cumpleaños en cada grupo.
• ¿Cuántos de ¿Tus grupos tienen dos o más personas con el mismo cumpleaños? Según la paradoja del cumpleaños, ¿cuántos grupos esperarías encontrar que tuvieran dos personas con el mismo cumpleaños? ¿Es cierta la paradoja del cumpleaños?
• Extra: En este actividad que utilizó un grupo de 23 o más personas, pero podría intentarlo con grupos más grandes. Si use un grupo de 366 personas, la mayor cantidad de días que puede tener un año, las probabilidades de que dos personas tengan el mismo cumpleaños son del 100 por ciento (excluyendo los cumpleaños del año bisiesto del 29 de febrero), pero ¿cuáles cree que son las probabilidades en un grupo de ¿60 o 75 personas?
• Extra: Lanzar los dados es una excelente manera de investigar la probabilidad. Puede intentar lanzar tres dados de 10 caras y cinco dados de seis caras 100 veces cada uno y registrar los resultados de cada tirada. Calcula la probabilidad matemática de obtener una suma superior a 18 por cada combinación de dados al lanzarlos 100 veces. (Este sitio web puede enseñarle cómo calcular la probabilidad: Probability Central de Oracle ThinkQuest.) ¿Qué combinación tiene una probabilidad matemática más alta? ¿Era esto cierto cuando las arrojó?
Observaciones y resultados
¿Aproximadamente el 50 por ciento de ¿Los grupos de 23 o más personas incluyen al menos dos personas con el mismo cumpleaños?
Al comparar probabilidades con cumpleaños, puede ser más fácil ver la probabilidad de que las personas no compartan un cumpleaños. El cumpleaños de una persona es una de las 365 posibilidades (excluyendo los cumpleaños del 29 de febrero). La probabilidad de que una persona no tenga el mismo cumpleaños que otra es 364 dividida entre 365 porque hay 364 días que no son el cumpleaños de una persona . Esto significa que dos personas tienen una probabilidad de 364/365, o 99,726027 por ciento, de no coincidir con los cumpleaños.
Como se mencionó anteriormente, en un grupo de 23 personas, hay 253 comparaciones o combinaciones que pueden hacerse. Entonces, no estamos viendo solo una comparación, sino 253 comparaciones. Cada una de las 253 combinaciones tiene las mismas probabilidades, 99.726027 por ciento, de no ser una coincidencia. Si multiplica 99.726027 por ciento por 99.726027 253 veces, o calcule (364/365) 253, encontrará que hay un 49,952 por ciento de probabilidad de que las 253 comparaciones no contengan coincidencias. En consecuencia, las probabilidades de que haya una coincidencia de cumpleaños en esas 253 comparaciones son 1 – 49,952 por ciento = 50,048 por ciento, ¡o poco más de la mitad! Cuantas más pruebas realice, más cerca debería aproximarse la probabilidad real al 50 por ciento.
Más para explorar
«Comprender la paradoja del cumpleaños» de BetterExplained
«Probability Central» de Oracle ThinkQuest
«Combinaciones y permutaciones» de MathIsFun
«La paradoja del cumpleaños» de Science Buddies
Esta actividad se presenta en colaboración con Science Buddies