Interés compuesto

Composición periódicaEditar

P ′ = P (1 + rn) nt {\ displaystyle P «= P \ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ right) ^ {nt}}

donde:

P es la suma principal original P» es la nueva suma principal r es la tasa de interés nominal anual n es la frecuencia de capitalización t es el período total de tiempo que se aplica el interés (expresado utilizando las mismas unidades de tiempo que r, generalmente años).

El interés compuesto total generado es el valor final menos el principal inicial:

I = P (1 + rn) nt – P {\ displaystyle I = P \ left (1 + {\ frac {r} { n}} \ right) ^ {nt} -P}

Ejemplo 1Editar

P ′ = 1 500 × (1 + 0.043 4) 4 × 6 ≈ 1 938.84 {\ displaystyle P «= 1 \, 500 \ times \ left (1 + {\ frac {0.043} {4}} \ right) ^ {4 \ times 6} \ approx 1 \, 938.84}

Entonces, el nuevo principal P ′ {\ displaystyle P «} después 6 años es aproximadamente $ 1,938.84.

Restando el capital original de esta cantidad da la cantidad de interés recibido:

1 938.84 – 1 500 = 438.84 {\ displaystyle 1 \, 938.84-1 \, 500 = 438,84}

Ejemplo 2Editar

P ′ = 1 500 × (1 + (0,043 × 2)) 6 2 ≈ 1 921,24 {\ displaystyle P «= 1 \, 500 \ times \ left (1+ ( 0.043 \ times 2) \ right) ^ {\ frac {6} {2}} \ approx 1 \, 921.24}

Entonces, el saldo después de 6 años es de aproximadamente $ 1,921.24.

La cantidad de el interés recibido se puede calcular restando el principal de esta cantidad.

1 921,24 – 1 500 = 421,24 {\ displaystyle 1 \, 921,24-1 \, 500 = 421 .24}

El interés es menor en comparación con el caso anterior, como resultado de la menor frecuencia de capitalización.

Función de acumulaciónEditar

Dado que el principal P es simplemente un coeficiente, a menudo se descarta por simplicidad y en su lugar se utiliza la función de acumulación resultante. La función de acumulación muestra a qué crece $ 1 después de cualquier período de tiempo.

Las funciones de acumulación para interés simple y compuesto son

a (t) = 1 + rt {\ displaystyle a (t) = 1 + rt \,} a (t) = (1 + rn) nt {\ displaystyle a (t) = \ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ right) ^ {nt}}

Si nt = 1 {\ displaystyle nt = 1}, entonces estas dos funciones son las mismas.

Composición continua Editar

Como n , el número de períodos de capitalización por año, aumenta sin límite, el caso se conoce como capitalización continua, en cuyo caso la tasa anual efectiva se acerca a un límite superior de er – 1, donde e es una constante matemática que es la base de la logaritmo.

Se puede pensar que la capitalización continua hace que el período de capitalización sea infinitesimalmente pequeño, lo que se logra tomando el límite cuando n llega al infinito. Consulte las definiciones de la función exponencial para la prueba matemática de este límite. La cantidad después de t períodos de capitalización continua se puede expresar en términos de la cantidad inicial P0 como

P (t) = P 0 e r t. {\ displaystyle P (t) = P_ {0} e ^ {rt}.}

Fuerza de interésEditar

A medida que el número de períodos de capitalización n {\ displaystyle n} alcanza el infinito en capitalización continua, la tasa de interés compuesta continua se conoce como la fuerza de interés δ {\ displaystyle \ delta}.

En matemáticas, las funciones de acumulación a menudo se expresan en términos de e, la base del logaritmo natural. Esto facilita el uso del cálculo para manipular fórmulas de interés.

Para cualquier función de acumulación continuamente diferenciable a (t), la fuerza de interés, o más generalmente el retorno logarítmico o compuesto continuamente, es una función del tiempo definida como sigue:

δ t = a ′ (t) a (t) = ddt ln ⁡ a (t) {\ Displaystyle \ delta _ {t} = {\ frac {a «(t)} {a (t )}} = {\ frac {d} {dt}} \ ln a (t)}

Esta es la derivada logarítmica de la función de acumulación.

A la inversa:

a (t ) = mi ∫ 0 t δ sds, {\ displaystyle a (t) = e ^ {\ int _ {0} ^ {t} \ delta _ {s} \, ds} \,} (ya que a (0) = 1 {\ displaystyle a (0) = 1}; esto puede verse como un caso particular de una integral de producto).

Cuando la fórmula anterior se escribe en formato de ecuación diferencial, entonces la fuerza de interés es simplemente el coeficiente de cantidad de cambio:

da (t) = δ ta (t) dt {\ displaystyle da (t) = \ delta _ {t} a (t) \, dt \,}

Para interés compuesto con una tasa de interés anual constante r, la fuerza de interés es una constante t, y la función de acumulación de interés compuesto en términos de fuerza de interés es una potencia simple de e:

δ = ln ⁡ (1 + r) {\ displaystyle \ delta = \ ln (1 + r) \, } o a (t) = et δ {\ displaystyle a (t) = e ^ {t \ delta} \,}

La fuerza de interés es menor que la tasa de interés efectiva anual, pero mayor que el descuento efectivo anual Velocidad. Es el recíproco del tiempo de plegado electrónico. Consulte también la notación de tipos de interés.

Base de capitalizaciónEditar

Para convertir una tasa de interés de una base de capitalización a otra base de capitalización, utilice

r 2 = n 2, {\ displaystyle r_ {2} = \ left {n_ {2}},}

donde r1 es la tasa de interés con frecuencia de capitalización n1 y r2 es la tasa de interés con frecuencia de capitalización n2.

Cuando el interés se capitaliza continuamente, usa

δ = n ln ⁡ (1 + rn), {\ displaystyle \ delta = n \ ln {\ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ right)},}

donde δ {\ displaystyle \ delta} es la tasa de interés sobre una base de capitalización continua, yr es la tasa de interés establecida con una frecuencia de capitalización n.

Préstamo o hipoteca amortizada mensualmente PaymentEdit

El interés de los préstamos y las hipotecas que se amortizan, es decir, que tienen un pago mensual uniforme hasta que se cancela el préstamo, a menudo se capitaliza mensualmente. La fórmula para los pagos se encuentra a partir del siguiente argumento.

Fórmula exacta para el pago mensualEditar

Una fórmula exacta para el pago mensual (c {\ displaystyle c}) es

c = P r 1 – 1 (1 + r) norte {\ Displaystyle c = {\ frac {Pr} {1 – {\ frac {1} {(1 + r) ^ {n}}}}}}

o de forma equivalente

c = P r 1 – mi – n ln ⁡ (1 + r) {\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1-e ^ {- n \ ln (1 + r)} }}}

donde:

c {\ displaystyle c} = pago mensual P {\ displaystyle P} = principal r {\ displaystyle r} = tasa de interés mensual n {\ displaystyle n} = número de períodos de pago

Esto puede obtenerse considerando cuánto queda por pagar después de cada mes.
El capital restante después del primer mes es

P 1 = (1 + r) P – c, {\ displaystyle P_ {1} = (1 + r) Pc,}

es decir, el monto inicial más intereses menos el pago.
Si el préstamo se paga en su totalidad después de un mes,

P 1 = 0 {\ displaystyle P_ {1} = 0}, por lo que P = c 1 + r {\ displaystyle P = {\ frac {c} {1 + r}}}

Después del segundo mes P 2 = (1 + r) P 1 – c {\ displaystyle P_ {2} = (1 + r) P_ {1} -c} queda, entonces

P 2 = (1 + r) ((1 + r) P – c) – c {\ Displaystyle P_ {2} = (1 + r) ((1 + r) Pc) -c}

Si el préstamo se canceló en su totalidad después de dos meses,

P 2 = 0 {\ displaystyle P_ {2} = 0}, por lo que P = c 1 + r + c (1 + r) 2 {\ displaystyle P = {\ frac {c} {1 + r}} + {\ frac {c} {(1 + r) ^ {2}}}} P = cr (1 – 1 (1 + r) n) {\ displaystyle P = {\ frac {c} {r}} \ left (1 – {\ frac {1} {(1 + r) ^ {n}}} \ right)}

que se puede reorganizar para dar

c = P r 1 – 1 (1 + r) norte = P r 1 – mi – norte ln ⁡ (1 + r) {\ Displaystyle c = {\ frac {Pr} {1 – {\ frac {1} { (1 + r) ^ {n}}}}} = {\ frac {Pr} {1-e ^ {- n \ ln (1 + r)}}}} Fórmula de la hoja de cálculo

En las hojas de cálculo, el PMT ( ) se utiliza la función. La sintaxis es:

PMT (tasa de interés, number_payments, present_value, future_value,)

Consulte Excel, Mac Numbers, LibreOffice, Open Office, Google Sheets para obtener más detalles.

Por ejemplo, para tasa de interés del 6% (0.06 / 12), 25 años * 12 pa, PV de $ 150,000, FV de 0, tipo de 0 da:

= PMT (0.06 / 12, 25 * 12, -150000, 0, 0) = $ 966,45

Fórmula aproximada para el pago mensualEditar

c ≈ P r 1 – e – nr = P nnr 1 – e – nr {\ displaystyle c \ approx {\ frac {Pr} {1-e ^ {-nr}}} = {\ frac {P} {n}} {\ frac {nr} {1-e ^ {- nr}}}}

que sugiere definir variables auxiliares

Y ≡ nr = ES {\ Displaystyle Y \ equiv nr = IT} c 0 ≡ P n {\ Displaystyle c_ {0} \ equiv {\ frac {P} {n}}}.

Aquí c 0 {\ displaystyle c_ {0}} es el pago mensual requerido para un préstamo sin interés pagado en n {\ displaystyle n} cuotas. En términos de estas variables, la aproximación se puede escribir

c ≈ c 0 Y 1 – e – Y, {\ displaystyle c \ approx c_ {0} {\ frac {Y} {1-e ^ {- Y}} },}

La función f (Y) ≡ Y 1 – e – Y – Y 2 {\ displaystyle f (Y) \ equiv {\ frac {Y} {1-e ^ {- Y}}} – { \ frac {Y} {2}}} es par:

f (Y) = f (- Y) {\ displaystyle f (Y) = f (-Y)}

lo que implica que se puede expandir en potencias pares de Y {\ displaystyle Y}.

Entonces resultará conveniente definir

X = 1 2 Y = 1 2 IT {\ displaystyle X = {\ frac {1} { 2}} Y = {\ frac {1} {2}} IT}

de modo que

c ≈ c 0 2 X 1 – e – 2 X {\ displaystyle c \ approx c_ {0} {\ frac {2X} {1-e ^ {- 2X}}}}

que se puede expandir:

c ≈ c 0 (1 + X + X 2 3 – 1 45 X 4 +…) {\ Displaystyle c \ approx c_ {0} \ left (1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {3}} – {\ frac {1} {45}} X ^ {4} + … \ right)}

donde las elipses indican términos que son de orden superior en potencias pares de X {\ displaystyle X}. La expansión

P ≈ P 0 (1 + X + X 2 3) {\ displaystyle P \ approx P_ {0} \ left (1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {3}} \ derecha)}

es válido hasta mejor del 1% siempre que X ≤ 1 {\ displaystyle X \ leq 1}.

Ejemplo de pago de hipotecaEditar

Para una hipoteca de $ 10,000 con un plazo de 30 años y una tasa de interés del 4,5%, pagadera anualmente, encontramos:

T = 30 {\ displaystyle T = 30} I = 0.045 {\ displaystyle I = 0.045}

que da

X = 1 2 IT = .675 {\ displaystyle X = {\ frac {1} {2}} IT = .675}

de modo que

P ≈ P 0 (1 + X + 1 3 X 2) = $ 333,33 (1 + .675 + .675 2/3) = $ 608,96 {\ Displaystyle P \ approx P_ {0} \ left (1 + X + {\ frac {1} {3}} X ^ {2} \ right) = \ $ 333.33 (1 + .675 + .675 ^ {2} / 3) = \ $ 608.96}

Inversión: depósitos mensualesEditar

Dado un depósito principal (inicial) y un depósito recurrente, el rendimiento total de una inversión se puede calcular mediante el interés compuesto ganado por unidad de tiempo. Si es necesario, el interés sobre depósitos adicionales no recurrentes y recurrentes también se puede definir dentro de la misma fórmula (ver más abajo).

P {\ displaystyle P} = Depósito principal r {\ displaystyle r} = Tasa de rendimiento ( mensual) M {\ displaystyle M} = depósito mensual, y t {\ displaystyle t} = Tiempo, en meses M (1 + r) t – 1 r + P (1 + r) t {\ displaystyle M {\ frac { (1 + r) ^ {t} -1} {r}} + P (1 + r) ^ {t}}

Si se producen dos o más tipos de depósitos (recurrentes o no recurrentes), el los intereses devengados se pueden representar como

M (r + 1) t – 1 r + P (r + 1) t + k (r + 1) t – x – 1 r + C (r + 1) t – y {\ Displaystyle M {\ frac {(r + 1) ^ {t} -1} {r}} + P (r + 1) ^ {t} + k {\ frac {(r + 1) ^ {tx } -1} {r}} + C (r + 1) ^ {ty}} donde C yk son depósitos no recurrentes y recurrentes, respectivamente, y xey son las diferencias de tiempo entre un nuevo depósito y cualquier variable t {\ displaystyle t} está modelando.