La distribución exponencial es una de las distribuciones continuas más utilizadas. A menudo se utiliza para modelar el tiempo transcurrido entre eventos. Ahora definiremos matemáticamente la distribución exponencial y derivaremos su valor medio y esperado. Luego, desarrollaremos la intuición para la distribución y discutiremos varias propiedades interesantes que tiene.

La Figura 4.5 muestra el PDF de distribución exponencial para varios valores de $ \ lambda $.

Sea $ X \ sim Exponencial (\ lambda) $. Podemos encontrar su valor esperado de la siguiente manera, usando la integración por partes:

Ahora busquemos Var $ (X) $. Tenemos

Por lo tanto, obtenemos $$ \ textrm {Var} (X) = EX ^ 2- (EX) ^ 2 = \ frac {2} {\ lambda ^ 2} – \ frac {1} {\ lambda ^ 2} = \ frac { 1} {\ lambda ^ 2}. $$

Una propiedad interesante de la distribución exponencial es que puede verse como un análogo continuo de la distribución geométrica. Para ver esto, recuerda el experimento aleatorio detrás de la distribución geométrica: lanzas una moneda (repite un experimento de Bernoulli) hasta que observas las primeras caras (éxito). Ahora, suponga que los lanzamientos de moneda son $ \ Delta $ segundos de diferencia y en cada lanzamiento la probabilidad de éxito es $ p = \ Delta \ lambda $. Suponga también que $ \ Delta $ es muy pequeño, por lo que los lanzamientos de monedas están muy juntos en el tiempo y la probabilidad de éxito en cada intento es muy bajo. Sea $ X $ el momento en que observe el primer st éxito. Mostraremos en la sección de Problemas resueltos que la distribución de $ X $ converge a $ Exponencial (\ lambda) $ cuando $ \ Delta $ se acerca a cero.

Para obtener algo de intuición para esta interpretación de la distribución exponencial , suponga que está esperando que suceda un evento. Por ejemplo, está en una tienda y está esperando al próximo cliente. En cada milisegundo, la probabilidad de que un nuevo cliente ingrese a la tienda es muy pequeña. Puedes imaginar que, en cada milisegundo, se lanza una moneda (con un $ P (H) $ muy pequeño), y si sale cara, entran nuevos clientes. Si lanza una moneda cada milisegundo, el tiempo hasta que llega un nuevo cliente sigue aproximadamente una distribución exponencial.

La interpretación anterior del exponencial es útil para comprender mejor las propiedades de la distribución exponencial. La más importante de estas propiedades es que la distribución exponencial no tiene memoria. Para ver esto, piense en una variable aleatoria exponencial en el sentido de lanzar muchas monedas hasta observar las primeras caras. Si lanzamos la moneda varias veces y no observamos cara, a partir de ahora es como si empezáramos de nuevo. En otras palabras, los lanzamientos de moneda fallidos no afectan la distribución del tiempo de espera a partir de ahora. La razón de esto es que los lanzamientos de monedas son independientes. Podemos afirmar esto formalmente de la siguiente manera: $$ P (X > x + a | X > a) = P (X > x). $$

Desde el punto de vista del tiempo de espera hasta la llegada de un cliente, la propiedad sin memoria significa que no importa cuánto tiempo haya esperado hasta ahora. Si no ha observado a un cliente hasta el momento $ a $, la distribución del tiempo de espera (desde el momento $ a $) hasta el próximo cliente es la misma que cuando comenzó en el momento cero. Demostremos la propiedad sin memoria de la distribución exponencial. \ Begin {align}% \ label {} \ nonumber P (X > x + a | X > a) & = \ frac {P \ big (X > x + a, X > a \ big)} {P (X > a)} \\ \ nonumber & = \ frac {P (X > x + a)} {P (X > a)} \\ \ nonumber & = \ frac {1-F_X (x + a)} {1-F_X (a)} \\ \ nonumber & = \ frac {e ^ { – \ lambda (x + a)}} {e ^ {- \ lambda a}} \\ \ nonumber & = e ^ {- \ lambda x} \\ \ nonumber & = P (X > x). \\ \ end {align}