Sus obras
Existen nueve tratados de Arquímedes en griego. Los resultados principales en On the Sphere and Cylinder (en dos libros) son que el área de superficie de cualquier esfera de radio r es cuatro veces la de su círculo más grande (en notación moderna, S = 4πr2) y que el volumen de una esfera es dos tercios del cilindro en el que está inscrito (lo que lleva inmediatamente a la fórmula del volumen, V = 4 / 3πr3). Arquímedes estaba lo suficientemente orgulloso del último descubrimiento como para dejar instrucciones para que su tumba fuera marcada con una esfera inscrita en un cilindro. Marco Tulio Cicerón (106-43 a. C.) encontró la tumba, cubierta de vegetación, un siglo y medio después de la muerte de Arquímedes.
Encyclopædia Britannica, Inc.
Measurement of the Circle es un fragmento de un trabajo más largo en el que π (pi), la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo, se encuentra entre los límites de 3 10/71 y 3 1/7. El enfoque de Arquímedes para determinar π, que consiste en inscribir y circunscribir polígonos regulares con un gran número de lados, fue seguido por todos hasta el desarrollo de expansiones de series infinitas en la India durante el siglo XV y en Europa durante el siglo XVII. Ese trabajo también contiene aproximaciones precisas (expresadas como razones de números enteros) a las raíces cuadradas de 3 y varios números grandes.
Sobre conoides y esferoides se ocupa de determinar los volúmenes de los segmentos de sólidos formados por la revolución de una sección cónica (círculo, elipse, parábola o hipérbola) alrededor de su eje. En términos modernos, esos son problemas de integración. (Ver cálculo.) En espirales desarrolla muchas propiedades de tangentes y áreas asociadas con la espiral de Arquímedes, es decir, el lugar geométrico de un punto que se mueve con velocidad uniforme a lo largo de una línea recta que a su vez gira con velocidad uniforme alrededor de un punto fijo. . Era una de las pocas curvas más allá de la línea recta y las secciones cónicas conocidas en la antigüedad.
Sobre el equilibrio de los planos (o centros de gravedad de los planos, en dos libros) se ocupa principalmente de establecer el centros de gravedad de varias figuras planas rectilíneas y segmentos de la parábola y el paraboloide. El primer libro pretende establecer la «ley de la palanca» (equilibrio de magnitudes a distancias del fulcro en relación inversa a sus pesos), y es principalmente sobre la base de ese tratado que Arquímedes ha sido llamado el fundador de la mecánica teórica. Gran parte de ese libro, sin embargo, indudablemente no es auténtico, ya que consiste en adiciones o reelaboraciones posteriores ineptas, y parece probable que se estableciera el principio básico de la ley de la palanca y, posiblemente, el concepto de centro de gravedad. sobre una base matemática por eruditos anteriores a Arquímedes. Su contribución fue más bien extender esos conceptos a las secciones cónicas.
La cuadratura de la Parábola demuestra, primero por medios «mecánicos» (como en Método, discutido más adelante) y luego, por métodos geométricos convencionales, que el área de cualquier segmento de una parábola es 4/3 del área del triángulo que tiene la misma base y altura que ese segmento. Eso es, nuevamente, un problema de integración.
The Sand-Reckoner es un pequeño tratado que es un jeu desprit escrito para el profano —está dirigido a Gelon, hijo de Hieron— que sin embargo contiene algunas matemáticas profundamente originales. Su objetivo es remediar las deficiencias del sistema de notación numérica griego mostrando cómo expresar un número enorme: el número de granos de arena que se necesitarían para llenar todo el universo. Lo que hace Arquímedes, en efecto, es crear un sistema de notación de valor posicional, con una base de 100.000.000. (Esa fue aparentemente una idea completamente original, ya que no tenía conocimiento del sistema de valor posicional babilónico contemporáneo con base 60). El trabajo también es de interés porque da la descripción sobreviviente más detallada del sistema heliocéntrico de Aristarco de Samos ( c. 310-230 a. C.) y porque contiene un relato de un ingenioso procedimiento que Arquímedes utilizó para determinar el diámetro aparente del Sol mediante la observación con un instrumento.
El método relativo a los teoremas mecánicos describe un proceso de descubrimiento en matemáticas . Es la única obra que se conserva de la antigüedad, y una de las pocas de cualquier época, que trata este tema.En él, Arquímedes relata cómo utilizó un método «mecánico» para llegar a algunos de sus descubrimientos clave, incluida el área de un segmento parabólico y el área de superficie y volumen de una esfera. La técnica consiste en dividir cada una de las dos figuras en un infinito. pero igual número de tiras infinitesimalmente delgadas, luego «pesando» cada par correspondiente de estas tiras entre sí en una balanza teórica para obtener la proporción de las dos cifras originales. Arquímedes enfatiza que, aunque útil como método heurístico, este procedimiento no constituye una prueba rigurosa.
On Floating Bodies (en dos libros) sobrevive solo parcialmente en griego, el resto en traducción latina medieval del griego . Es el primer trabajo conocido sobre hidrostática, del cual Arquímedes es reconocido como fundador. Su propósito es determinar las posiciones que asumirán varios sólidos al flotar en un fluido, según su forma y la variación de sus densidades específicas. En el primer libro se establecen varios principios generales, en particular lo que se conoce como el principio de Arquímedes: un sólido más denso que un fluido, cuando se sumerge en ese fluido, será más ligero por el peso del fluido que desplaza. El segundo libro es un tour de force matemático incomparable en la antigüedad y rara vez igualado desde entonces. En él Arquímedes determina las distintas posiciones de estabilidad que asume un paraboloide derecho de revolución al flotar en un fluido de mayor gravedad específica, según variaciones geométricas e hidrostáticas.
Se conoce a Arquímedes, a partir de referencias de autores posteriores, haber escrito una serie de otras obras que no han sobrevivido. De particular interés son los tratados de catoptría, en los que discutió, entre otras cosas, el fenómeno de la refracción; en los 13 poliedros semirregulares (de Arquímedes) (aquellos cuerpos delimitados por polígonos regulares, no necesariamente todos del mismo tipo, que pueden inscribirse en una esfera); y el «Problema del ganado» (conservado en un epigrama griego), que plantea un problema de análisis indeterminado, con ocho incógnitas. Además de estas, sobreviven varias obras en traducción árabe atribuidas a Arquímedes que no pueden haber sido compuestas por él en su forma actual, aunque pueden contener elementos «de Arquímedes». Entre ellos se incluye un trabajo sobre la inscripción del heptágono regular en un círculo; una colección de lemas (proposiciones que se suponen verdaderas y que se utilizan para demostrar un teorema) y un libro, On Touching Circles, ambos relacionados con la geometría del plano elemental; y el Stomachion (partes del cual también sobreviven en griego), que trata con un cuadrado dividido en 14 piezas para un juego o rompecabezas.
Las demostraciones matemáticas y la presentación de Arquímedes exhiben una gran audacia y originalidad de pensamiento en una mano y rigor extremo por el otro, cumpliendo con los más altos estándares de la geometría contemporánea. Si bien el Método muestra que llegó a las fórmulas para el área de la superficie y el volumen de una esfera mediante un razonamiento «mecánico» que involucraba infinitesimales, en sus pruebas reales de los resultados en Esfera y Cilindro, usa solo los métodos rigurosos de aproximación finita sucesiva que tenía Eudoxo de Cnido fue inventado por Eudoxo de Cnido en el siglo IV a. C. Estos métodos, de los cuales Arquímedes era un maestro, son el procedimiento estándar en todas sus obras sobre geometría superior que se ocupan de demostrar resultados sobre áreas y volúmenes. Su rigor matemático contrasta fuertemente a las «pruebas» de los primeros practicantes del cálculo integral en el siglo XVII, cuando los infinitesimales fueron reintroducidos en las matemáticas. Sin embargo, los resultados de Arquímedes no son menos impresionantes que los suyos. La misma libertad con respecto a las formas convencionales de pensar es evidente en el campo aritmético de Sand-Reckoner, que muestra una comprensión profunda de la naturaleza del sistema numérico.
En la antigüedad, Arquímedes también era conocido como un astrónomo destacado: sus observaciones de los solsticios fueron utilizadas por Hiparco (floreció c. 140 a. C.), el principal astrónomo antiguo. Se sabe muy poco de este aspecto de la actividad de Arquímedes, aunque Sand-Reckoner revela su gran interés astronómico y su capacidad de observación práctica. Sin embargo, se ha transmitido un conjunto de números atribuidos a él que dan las distancias de los diversos cuerpos celestes desde la Tierra, que se ha demostrado que no se basa en datos astronómicos observados sino en una teoría «pitagórica» que asocia los intervalos espaciales entre planetas con intervalos musicales. Aunque es sorprendente encontrar esas especulaciones metafísicas en el trabajo de un astrónomo practicante, hay buenas razones para creer que su atribución a Arquímedes es correcta.