La distribuzione esponenziale è una delle distribuzioni continue ampiamente utilizzate. Viene spesso utilizzato per modellare il tempo trascorso tra gli eventi. Definiremo ora matematicamente la distribuzione esponenziale e ne deriveremo il valore medio e atteso. Quindi svilupperemo lintuizione per la distribuzione e discuteremo diverse proprietà interessanti che ha.

La Figura 4.5 mostra il PDF della distribuzione esponenziale per diversi valori di $ \ lambda $.

Lascia $ X \ sim Esponenziale (\ lambda) $. Possiamo trovare il suo valore atteso come segue, usando lintegrazione per parti:

Ora troviamo Var $ (X) $. Abbiamo

Quindi, otteniamo $$ \ textrm {Var} (X) = EX ^ 2- (EX) ^ 2 = \ frac {2} {\ lambda ^ 2} – \ frac {1} {\ lambda ^ 2} = \ frac { 1} {\ lambda ^ 2}. $$

Una proprietà interessante della distribuzione esponenziale è che può essere vista come un analogo continuo della distribuzione geometrica. Per vedere questo, ricorda lesperimento casuale dietro la distribuzione geometrica: lanci una moneta (ripeti un esperimento di Bernoulli) fino a quando non osservi le prime teste (successo). Ora, supponiamo che i lanci della moneta siano $ \ Delta $ secondi luno dallaltro e in ogni lancio la probabilità di successo è $ p = \ Delta \ lambda $. Supponi anche che $ \ Delta $ sia molto piccolo, quindi i lanci di monete sono molto ravvicinati nel tempo e la probabilità di successo in ogni prova è Sia $ X $ lora in cui osservi labete st successo. Mostreremo nella sezione Problemi risolti che la distribuzione di $ X $ converge a $ Esponenziale (\ lambda) $ quando $ \ Delta $ si avvicina a zero.

Per avere unidea di questa interpretazione della distribuzione esponenziale , supponi di aspettare che accada un evento. Ad esempio, sei in un negozio e stai aspettando il prossimo cliente. In ogni millisecondo, la probabilità che un nuovo cliente entri nel negozio è molto ridotta. Puoi immaginare che, in ogni millisecondo, venga lanciata una moneta (con un $ P (H) $ molto piccolo) e se esce testa entra un nuovo cliente. Se lanci una moneta ogni millisecondo, il tempo fino allarrivo di un nuovo cliente segue approssimativamente una distribuzione esponenziale.

Linterpretazione di cui sopra dellesponenziale è utile per comprendere meglio le proprietà della distribuzione esponenziale. La più importante di queste proprietà è che la distribuzione esponenziale è senza memoria. Per vedere questo, pensa a una variabile casuale esponenziale, nel senso di lanciare molte monete fino a quando non osservi le prime teste. Se lanciamo la moneta più volte e non osserviamo una testa, dora in poi è come ricominciare tutto da capo. In altre parole, i lanci di monete falliti non influenzeranno la distribuzione del tempo di attesa dora in poi. La ragione di ciò è che i lanci delle monete sono indipendenti. Possiamo affermarlo formalmente come segue: $$ P (X > x + a | X > a) = P (X > x). $$

Dal punto di vista del tempo di attesa fino allarrivo di un cliente, la proprietà senza memoria significa che non importa quanto tempo hai aspettato finora. Se non hai osservato un cliente fino allora $ a $, la distribuzione del tempo di attesa (dallora $ a $) fino al cliente successivo è la stessa di quando hai iniziato allora zero. Dimostriamo la proprietà senza memoria della distribuzione esponenziale. \ Begin {align}% \ label {} \ nonumber P (X > x + a | X > a) & = \ frac {P \ big (X > x + a, X > a \ big)} {P (X > a)} \\ \ nonumber & = \ frac {P (X > x + a)} {P (X > a)} \\ \ nonumber & = \ frac {1-F_X (x + a)} {1-F_X (a)} \\ \ nonumber & = \ frac {e ^ { – \ lambda (x + a)}} {e ^ {- \ lambda a}} \\ \ nonumber & = e ^ {- \ lambda x} \\ \ nonumber & = P (X > x). \\ \ end {align}