Zinseszins

Periodische Zinseszins

P ′ = P (1 + rn) nt {\ displaystyle P. „= P \ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ right) ^ {nt}}

wobei:

P die ursprüngliche Hauptsumme P ist“ die neue Hauptsumme r ist Der nominale jährliche Zinssatz n ist die Aufzinsungshäufigkeit. t ist die Gesamtdauer der Zinsanwendung (ausgedrückt unter Verwendung der gleichen Zeiteinheiten wie r, normalerweise Jahre).

Der insgesamt erzeugte Zinseszins ist der Endwert abzüglich des Anfangsprinzips:

I = P (1 + rn) nt – P {\ Anzeigestil I = P \ left (1 + {\ frac {r} { n}} \ right) ^ {nt} -P}

Beispiel 1Edit

P ′ = 1 500 × (1 + 0,043 4) 4 × 6 ≈ 1 938,84 {\ displaystyle P „= 1 \, 500 \ times \ left (1 + {\ frac {0.043} {4}} \ right) ^ {4 \ times 6} \ ca. 1 \, 938.84}

Also das neue Prinzip P ′ {\ displaystyle P „} nach 6 Jahre sind ungefähr 1.938,84 USD.

Wenn Sie den ursprünglichen Kapitalbetrag von diesem Betrag abziehen, erhalten Sie den Betrag der erhaltenen Zinsen:

1 938,84 – 1 500 = 438,84 {\ displaystyle 1 \, 938,84-1 \, 500 = 438,84}

Beispiel 2Edit

P = 1 500 × (1 + (0,043 × 2)) 6 2 ≈ 1 921,24 {\ displaystyle P „= 1 \, 500 \ times \ left (1+ ( 0,043 \ mal 2) \ rechts) ^ {\ frac {6} {2}} \ ca. 1 \, 921,24}

Der Saldo nach 6 Jahren beträgt also ungefähr 1.921,24 USD.

Der Betrag von Erhaltene Zinsen können berechnet werden, indem der Kapitalbetrag von diesem Betrag abgezogen wird.

1 921,24 – 1 500 = 421,24 {\ displaystyle 1 \, 921,24-1 \, 500 = 421 .24}

Das Interesse ist im Vergleich zum vorherigen Fall aufgrund der niedrigeren Zinsfrequenz geringer.

AkkumulationsfunktionEdit

Da das Haupt-P einfach ein Koeffizient ist, Der Einfachheit halber wird es häufig gelöscht, und stattdessen wird die resultierende Akkumulationsfunktion verwendet. Die Akkumulationsfunktion zeigt an, zu welchem Wert $ 1 nach einer beliebigen Zeitspanne wächst.

Akkumulationsfunktionen für einfache und Zinseszinsen sind

a (t) = 1 + rt {\ displaystyle a (t) = 1 + rt \,} a (t) = (1 + rn) nt {\ Anzeigestil a (t) = \ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ right) ^ {nt}}

Wenn nt = 1 {\ displaystyle nt = 1}, sind diese beiden Funktionen gleich.

Continuous CompoundingEdit

As n Wenn die Anzahl der Compoundierungsperioden pro Jahr unbegrenzt zunimmt, wird der Fall als kontinuierliche Compoundierung bezeichnet. In diesem Fall nähert sich die effektive Jahresrate einer Obergrenze von er – 1, wobei e eine mathematische Konstante ist, die die Basis des Natürlichen bildet Logarithmus.

Kontinuierliches Compoundieren kann als unendlich klein angesehen werden, indem die Grenze genommen wird, wenn n gegen unendlich geht. Siehe Definitionen der Exponentialfunktion für den mathematischen Beweis dieser Grenze. Die Menge nach t Perioden kontinuierlicher Compoundierung kann als Anfangsmenge P0 ausgedrückt werden als

P (t) = P 0 e r t. {\ displaystyle P (t) = P_ {0} e ^ {rt}.}

Kraft von InteresseEdit

Wenn die Anzahl der Compoundierungsperioden n {\ displaystyle n} bei kontinuierlicher Compoundierung unendlich ist, Der kontinuierliche Zinseszins wird als die Kraft des Interesses δ {\ displaystyle \ delta} bezeichnet.

In der Mathematik werden die Akkumulationsfunktionen häufig als e ausgedrückt, die Basis des natürlichen Logarithmus. Dies erleichtert die Verwendung von Kalkül zur Manipulation von Zinsformeln.

Für jede kontinuierlich differenzierbare Akkumulationsfunktion a (t) ist die interessierende Kraft oder allgemeiner die logarithmische oder kontinuierlich zusammengesetzte Rendite eine Funktion der Zeit, definiert als folgt:

δ t = a (t) a (t) = ddt ln ⁡ a (t) {\ displaystyle \ delta _ {t} = {\ frac {a „(t)} {a (t )}} = {\ frac {d} {dt}} \ ln a (t)}

Dies ist die logarithmische Ableitung der Akkumulationsfunktion.

Umgekehrt:

a (t ) = e ∫ 0 t δ sds, {\ displaystyle a (t) = e ^ {\ int _ {0} ^ {t} \ delta _ {s} \, ds} \,} (da a (0) = 1 {\ displaystyle a (0) = 1}; dies kann als ein besonderer Fall eines Produktintegrals angesehen werden.

Wenn die obige Formel im Differentialgleichungsformat geschrieben ist, ist die interessierende Kraft einfach der Koeffizient von Änderungsbetrag:

da (t) = δ ta (t) dt {\ Anzeigestil da (t) = \ delta _ {t} a (t) \, dt \,}

Für Zinseszins mit Bei einem konstanten jährlichen Zinssatz r ist die Zinskraft eine Konstante t, und die Akkumulationsfunktion des Zinseszinses in Bezug auf die interessierende Kraft ist eine einfache Potenz von e:

δ = ln ⁡ (1 + r) {\ displaystyle \ delta = \ ln (1 + r) \, } oder a (t) = et δ {\ displaystyle a (t) = e ^ {t \ delta} \,}

Die Interessenkraft ist geringer als der jährliche effektive Zinssatz, aber höher als der jährliche effektive Abschlag Bewertung. Es ist der Kehrwert der E-Faltungszeit. Siehe auch Notation der Zinssätze.

Compounding BasisEdit

Um einen Zinssatz von einer Compoundierungsbasis auf eine andere Compoundierungsbasis umzurechnen, verwenden Sie

r 2 = n 2, {\ displaystyle r_ {2} = \ left {n_ {2}},}

wobei1 der Zinssatz mit der Zinsfrequenz n1 ist und r2 der Zinssatz mit der Zinsfrequenz n2 ist.

Wenn das Interesse kontinuierlich erhöht wird, verwenden Sie

δ = n ln ⁡ (1 + rn), {\ displaystyle \ delta = n \ ln {\ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ rechts)},}

wobei δ {\ displaystyle \ delta} der Zinssatz auf kontinuierlicher Zinsbasis ist und r der angegebene Zinssatz mit einer Zinshäufigkeit n ist.

Monatlich amortisiertes Darlehen oder Hypothek zahlungenEdit

Die Zinsen für Kredite und Hypotheken, die amortisiert werden, dh eine reibungslose monatliche Zahlung bis zur Tilgung des Kredits haben, werden häufig monatlich berechnet. Die Formel für Zahlungen ergibt sich aus dem folgenden Argument.

Genaue Formel für monatliche ZahlungEdit

Eine genaue Formel für die monatliche Zahlung (c {\ displaystyle c}) lautet

c = P r 1 – 1 (1 + r) n {\ Anzeigestil c = {\ frac {Pr} {1 – {\ frac {1} {(1 + r) ^ {n}}}}

oder äquivalent

c = P r 1 – e – n ln ⁡ (1 + r) {\ Anzeigestil c = {\ frac {Pr} {1-e ^ {- n \ ln (1 + r)} }}}

wobei:

c {\ displaystyle c} = monatliche Zahlung P {\ displaystyle P} = Kapital r {\ displaystyle r} = monatlicher Zinssatz n {\ displaystyle n} = Anzahl der Zahlungsperioden

Dies kann abgeleitet werden, indem berücksichtigt wird, wie viel nach jedem Monat noch zurückgezahlt werden muss.
Der nach dem ersten Monat verbleibende Principal ist

P 1 = (1 + r) P – c, {\ displaystyle P_ {1} = (1 + r) Pc,}

das heißt Anfangsbetrag zuzüglich Zinsen abzüglich der Zahlung.
Wenn das gesamte Darlehen nach einem Monat zurückgezahlt wird, ist

P 1 = 0 {\ displaystyle P_ {1} = 0}, also P = c 1 + r {\ displaystyle P = {\ frac {c} {1 + r}}}

Nach dem zweiten Monat bleibt P 2 = (1 + r) P 1 – c {\ displaystyle P_ {2} = (1 + r) P_ {1} -c} übrig

P 2 = (1 + r) ((1 + r) P – c) – c {\ Anzeigestil P_ {2} = (1 + r) ((1 + r) Pc) -c}

Wenn das gesamte Darlehen nach zwei Monaten zurückgezahlt wurde,

P 2 = 0 {\ displaystyle P_ {2} = 0}, also P = c 1 + r + c (1 + r) 2 {\ displaystyle P = {\ frac {c} {1 + r}} + {\ frac {c} {(1 + r) ^ {2}}} P = cr (1 – 1 (1 + r) n) {\ displaystyle P. = {\ frac {c} {r}} \ left (1 – {\ frac {1} {(1 + r) ^ {n}}} \ right)}

, das neu angeordnet werden kann, um c = P r 1 – 1 (1 + r) n = P r 1 – e – n ln ⁡ (1 + r) {\ Anzeigestil c = {\ frac {Pr} {1 – {\ frac {1} { (1 + r) ^ {n}}}}} = {\ frac {Pr} {1-e ^ {- n \ ln (1 + r)}}} Tabellenkalkulationsformel

In Tabellenkalkulationen wird die PMT ( ) Funktion wird verwendet. Die Syntax lautet:

PMT (Zinssatz, Anzahlzahlungen, Gegenwartswert, Zukunftswert)

Weitere Informationen finden Sie unter Excel, Mac-Nummern, LibreOffice, Open Office und Google Sheets.

Zum Beispiel für Zinssatz von 6% (0,06 / 12), 25 Jahre * 12 pa, PV von 150.000 USD, FV von 0, Typ 0 ergibt:

= PMT (0,06 / 12, 25 * 12, -150000, 0, 0) = $ 966.45

Ungefähre Formel für die monatliche ZahlungEdit

c ≈ P r 1 – e – nr = P nnr 1 – e – nr {\ displaystyle c \ approx {\ frac {Pr} {1-e ^ {-nr}}} = {\ frac {P} {n}} {\ frac {nr} {1-e ^ {- nr}}}

, was die Definition von Hilfsvariablen

Y ≡ nr vorschlägt = IT {\ Anzeigestil Y \ Äquiv. Nr = IT} c 0 ≡ P n {\ Anzeigestil c_ {0} \ Äquiv. {\ Frac {P} {n}}}.

Hier ist c 0 {\ displaystyle c_ {0}} die monatliche Zahlung, die für ein zinsloses Darlehen erforderlich ist, das in n {\ displaystyle n} Raten ausgezahlt wird. In Bezug auf diese Variablen kann die Approximation geschrieben werden

c ≈ c 0 Y 1 – e – Y, {\ Anzeigestil c \ ungefähr c_ {0} {\ frac {Y} {1-e ^ {- Y}} },}

Die Funktion f (Y) ≡ Y 1 – e – Y – Y 2 {\ Anzeigestil f (Y) \ äquiv {\ frac {Y} {1-e ^ {- Y}}} – { \ frac {Y} {2}}} ist gerade:

f (Y) = f (- Y) {\ Anzeigestil f (Y) = f (-Y)}

was bedeutet, dass es erweitert werden kann in geraden Potenzen von Y {\ displaystyle Y}.

Es wird sich dann als zweckmäßig erweisen,

X = 1 2 Y = 1 2 IT {\ displaystyle X = {\ frac {1} {zu definieren 2}} Y = {\ frac {1} {2}} IT}

, so dass

c ≈ c 0 2 X 1 – e – 2 X {\ Anzeigestil c \ ca. c_ {0} {\ frac {2X} {1-e ^ {- 2X}}}}

, das erweitert werden kann:

c ≈ c 0 (1 + X + X 2 3 – 1 45 X 4 + …) {\ displaystyle c \ approx c_ {0} \ left (1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {3}} – {\ frac {1} {45}} X ^ {4} + … \ right)}

wobei die Ellipsen Terme höherer Ordnung in geraden Potenzen von X {\ displaystyle X} anzeigen. Die Erweiterung

P ≈ P 0 (1 + X + X 2 3) {\ Anzeigestil P \ ca. P_ {0} \ links (1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {3}} \ rechts)}

ist gültig bis besser als 1%, vorausgesetzt X ≤ 1 {\ displaystyle X \ leq 1}.

Beispiel für HypothekenzahlungEdit

Für eine Hypothek in Höhe von 10.000 USD mit a Laufzeit von 30 Jahren und eine Note Rate von 4,5%, zahlbar jährlich, finden wir:

T = 30 {\ displaystyle T = 30} I = 0.045 {\ displaystyle I = 0.045}

was

X = 1 2 IT = .675 {\ displaystyle X = {\ frac {1} {2}} IT = .675}

ergibt, so dass

P ≈ P 0 (1 + X + 1 3 X 2) = $ 333,33 (1 + .675 + .675 2/3) = $ 608,96 {\ displaystyle P \ ungefähr P_ {0} \ left (1 + X + {\ frac {1} {3}} X ^ {2} \ right) = \ $ 333.33 (1 + .675 + .675 ^ {2} / 3) = \ $ 608.96}

Investieren: monatliche EinzahlungenEdit

Bei einer Kapitaleinlage (Ersteinzahlung) und einer wiederkehrenden Einlage kann die Gesamtrendite einer Anlage über die pro Zeiteinheit erzielten Zinseszinsen berechnet werden. Bei Bedarf können die Zinsen für zusätzliche einmalige und wiederkehrende Einzahlungen auch innerhalb derselben Formel definiert werden (siehe unten).

P {\ displaystyle P} = Haupteinzahlung r {\ displaystyle r} = Rendite ( monatlich) M {\ displaystyle M} = monatliche Einzahlung und t {\ displaystyle t} = Zeit in Monaten M (1 + r) t – 1 r + P (1 + r) t {\ displaystyle M {\ frac { (1 + r) ^ {t} -1} {r}} + P (1 + r) ^ {t}}

Wenn zwei oder mehr Arten von Ablagerungen auftreten (entweder wiederkehrend oder nicht wiederkehrend), die Verbindung Die verdienten Zinsen können dargestellt werden als

M (r + 1) t – 1 r + P (r + 1) t + k (r + 1) t – x – 1 r + C (r + 1) t – y {\ displaystyle M {\ frac {(r + 1) ^ {t} -1} {r}} + P (r + 1) ^ {t} + k {\ frac {(r + 1) ^ {tx } -1} {r}} + C (r + 1) ^ {ty}} wobei C und k einmalige bzw. wiederkehrende Einzahlungen sind und x und y die zeitlichen Unterschiede zwischen einer neuen Einzahlung und einer beliebigen Variablen sind t {\ displaystyle t} modelliert.