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Wahrscheinlichkeit
Statistik
Einführung
Haben Sie jemals bemerkt, wie sich manchmal herausstellt, dass das, was logisch erscheint, mit ein wenig Mathematik als falsch erwiesen wird? Wie viele Personen würden Ihrer Meinung nach durchschnittlich benötigt, um durchschnittlich zwei Personen zu befragen, die denselben Geburtstag haben? Aufgrund der Wahrscheinlichkeit ist es manchmal wahrscheinlicher, dass ein Ereignis eintritt, als wir glauben. Wenn Sie in diesem Fall eine zufällige Gruppe von nur 23 Personen befragen, besteht tatsächlich eine Wahrscheinlichkeit von 50 bis 50, dass zwei von ihnen denselben Geburtstag haben. Dies ist als Geburtstagsparadox bekannt. Glauben Sie nicht, dass es wahr ist? Sie können es testen und die mathematische Wahrscheinlichkeit in Aktion sehen!
Hintergrund
Das Geburtstagsparadoxon, auch als Geburtstagsproblem bekannt, besagt, dass in einer zufälligen Gruppe von 23 Personen eine Wahrscheinlichkeit von etwa 50 Prozent besteht dass zwei Menschen den gleichen Geburtstag haben. Ist das wirklich wahr? Es gibt mehrere Gründe, warum dies paradox erscheint. Eine davon ist, dass in einem Raum mit 22 anderen Personen, wenn eine Person ihren Geburtstag mit den Geburtstagen der anderen Personen vergleicht, nur 22 Vergleiche möglich sind – nur 22 Chancen, dass Personen denselben Geburtstag haben.
Wenn jedoch alle 23 Geburtstage miteinander verglichen werden, ergeben sich weit mehr als 22 Vergleiche. Wie viel mehr? Nun, die erste Person muss 22 Vergleiche anstellen, aber die zweite Person wurde bereits mit der ersten Person verglichen, sodass nur 21 Vergleiche durchgeführt werden müssen. Die dritte Person hat dann 20 Vergleiche, die vierte Person hat 19 und so weiter. Wenn Sie alle möglichen Vergleiche addieren (22 + 21 + 20 + 19 +… +1), ergibt die Summe 253 Vergleiche oder Kombinationen. Folglich umfasst jede Gruppe von 23 Personen 253 Vergleiche oder 253 Chancen für übereinstimmende Geburtstage.
Materialien
• Gruppen von 23 oder mehr Personen (10 bis 12 solcher Gruppen) oder eine Quelle mit zufälligen Geburtstagen (siehe Vorbereitung unten für Tipps)
• Papier und Stift oder Bleistift
• Taschenrechner (optional)
Vorbereitung
• Sammeln Sie Geburtstage für zufällige Gruppen von 23 oder mehr Personen. Idealerweise sollten Sie 10 bis 12 Gruppen mit 23 oder mehr Personen haben, damit Sie genug verschiedene Gruppen zum Vergleichen haben. (Sie brauchen nicht das Jahr für die Geburtstage, sondern nur den Monat und den Tag.)
• Tipp: Hier sind einige Möglichkeiten, wie Sie eine Reihe zufällig gruppierter Personen finden können: Bitten Sie die Schullehrer, jeweils eine Liste zu verteilen von ihren Klassen, um die Geburtstage für Schüler in der Klasse zu sammeln (die meisten Schulen haben ungefähr 25 Schüler in einer Klasse), verwenden Sie die Geburtstage von Spielern in Baseballteams der großen Liga (diese Informationen können leicht im Internet gefunden werden) oder verwenden Sie die Geburtstage von anderen zufälligen Personen, die Online-Quellen verwenden.
Vorgehensweise
• Sortieren Sie für jede Gruppe von 23 oder mehr Geburtstagen, die Sie gesammelt haben, diese, um festzustellen, ob in jeder Gruppe Geburtstagsspiele vorhanden sind.
• Wie viele von Ihre Gruppen haben zwei oder mehr Personen mit demselben Geburtstag. Wie viele Gruppen würden Sie basierend auf dem Geburtstagsparadoxon erwarten, wenn Sie zwei Personen mit demselben Geburtstag haben? Gilt das Geburtstagsparadoxon?
• Extra: In diesem Fall Aktivität Sie haben eine Gruppe von 23 oder mehr Personen verwendet, aber Sie können es mit größeren Gruppen versuchen. Wenn Sie Verwenden Sie eine Gruppe von 366 Personen – die größte Anzahl von Tagen pro Jahr -, die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Personen denselben Geburtstag haben, liegt bei 100 Prozent (ausgenommen Geburtstage im Schaltjahr vom 29. Februar), aber wie hoch sind Ihrer Meinung nach die Chancen in einer Gruppe von Personen? 60 oder 75 Personen?
• Extra: Würfeln ist eine gute Möglichkeit, die Wahrscheinlichkeit zu untersuchen. Sie können versuchen, drei 10-seitige Würfel und fünf sechsseitige Würfel jeweils 100 Mal zu würfeln und die Ergebnisse jedes Wurfs aufzuzeichnen. Berechnen Sie die mathematische Wahrscheinlichkeit, für jede Würfelkombination eine Summe von mehr als 18 zu erhalten, wenn Sie sie 100 Mal würfeln. (Auf dieser Website erfahren Sie, wie Sie die Wahrscheinlichkeit berechnen: Probability Central von Oracle ThinkQuest.) Welche Kombination hat eine höhere mathematische Wahrscheinlichkeit, und stimmte dies, als Sie sie gewürfelt haben?
Beobachtungen und Ergebnisse
Haben ungefähr 50 Prozent von Zu den Gruppen von 23 oder mehr Personen gehören mindestens zwei Personen mit denselben Geburtstagen?
Wenn Sie Wahrscheinlichkeiten mit Geburtstagen vergleichen, kann es einfacher sein, die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, mit der Personen keinen Geburtstag teilen. Der Geburtstag einer Person ist eine von 365 Möglichkeiten (außer Geburtstage am 29. Februar). Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person nicht denselben Geburtstag wie eine andere Person hat, wird durch 364 geteilt durch 365 geteilt, da es 364 Tage gibt, an denen keine Person Geburtstag hat . Dies bedeutet, dass zwei Personen eine Wahrscheinlichkeit von 364/365 oder 99,726027 Prozent haben, dass Geburtstage nicht übereinstimmen.
Wie bereits erwähnt, gibt es in einer Gruppe von 23 Personen 253 Vergleiche oder Kombinationen, die dies können gemacht sein. Wir betrachten also nicht nur einen Vergleich, sondern 253 Vergleiche. Jede der 253 Kombinationen hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, 99,726027 Prozent, dass sie nicht übereinstimmen. Wenn Sie 99,726027 Prozent mit 99 multiplizieren.726027 253-mal oder berechnen Sie (364/365) 253, Sie werden feststellen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass alle 253 Vergleiche keine Übereinstimmungen enthalten, bei 49,952 Prozent liegt. Folglich beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass es in diesen 253 Vergleichen ein Geburtstagsspiel gibt, 1 – 49,952 Prozent = 50,048 Prozent oder etwas mehr als die Hälfte! Je mehr Versuche Sie ausführen, desto näher sollte sich die tatsächliche Wahrscheinlichkeit 50 Prozent nähern.
Weitere Informationen
„Das Geburtstagsparadoxon verstehen“ von BetterExplained
„Probability Central“ von Oracle ThinkQuest
„Kombinationen und Permutationen“ von MathIsFun
„The Birthday Paradox“ von Science Buddies
Diese Aktivität wurde Ihnen in Zusammenarbeit mit Science Buddies
angeboten