Ein Parallelogramm kann in ein Rechteck mit derselben Fläche neu angeordnet werden.
Animation für die Bereichsformel K = bh {\ displaystyle K = bh}.
Alle Flächenformeln für allgemeine konvexe Vierecke gelten für Parallelogramme. Weitere Formeln sind spezifisch für Parallelogramme:
Ein Parallelogramm mit der Basis b und der Höhe h kann in ein Trapez und ein rechtwinkliges Dreieck unterteilt und wie in der Abbildung links gezeigt in ein Rechteck umgeordnet werden. Dies bedeutet, dass die Fläche eines Parallelogramms dieselbe ist wie die eines Rechtecks mit derselben Basis und Höhe:
K = b h. {\ displaystyle K = bh.}
Der Bereich des Parallelogramms ist der Bereich des blauen Bereichs, der das Innere darstellt des Parallelogramms
Die Formel Basis × Höhenfläche kann auch anhand der Abbildung rechts abgeleitet werden. Die Fläche K des Parallelogramms rechts (die blaue Fläche) ist die Gesamtfläche des Rechtecks abzüglich der Fläche der beiden orangefarbenen Dreiecke. Die Fläche des Rechtecks ist
K rect = (B + A) × H {\ Anzeigestil K _ {\ text {rect}} = (B + A) \ mal H \,}
und die Fläche von ein einzelnes orangefarbenes Dreieck ist
K tri = 1 2 A × H. {\ displaystyle K _ {\ text {tri}} = {\ frac {1} {2}} A \ times H. \,}
Daher ist die Fläche des Parallelogramms
K = K rect – 2 × K tri = ((B + A) × H) – (A × H) = B × H. {\ displaystyle K = K _ {\ text {rect}} – 2 \ mal K _ {\ text {tri}} = ((B + A) \ mal H) – (A \ mal H) = B \ mal H.}
Eine andere Flächenformel für zwei Seiten B und C und den Winkel θ lautet
K = B ⋅ C ⋅ sin θ. {\ displaystyle K = B \ cdot C \ cdot \ sin \ theta. \,}
Die Fläche eines Parallelogramms mit den Seiten B und C (B ≠ C) und dem Winkel γ {\ displaystyle \ gamma} am Schnittpunkt von Die Diagonalen sind gegeben durch
K = | tan γ | 2 ⋅ | B 2 – C 2 | . {\ displaystyle K = {\ frac {| \ tan \ gamma |} {2}} \ cdot \ left | B ^ {2} -C ^ {2} \ right |.}
Wenn das Parallelogramm von angegeben wird die Längen B und C von zwei benachbarten Seiten zusammen mit der Länge D1 einer der Diagonalen, dann kann die Fläche aus Herons Formel ermittelt werden. Insbesondere ist es
K = 2 S (S – B) (S – C. ) (S – D 1) {\ displaystyle K = 2 {\ sqrt {S (SB) (SC) (S-D_ {1})}}}
Fläche in kartesischen Koordinaten der EckpunkteEdit
Lassen Sie die Punkte a, b, c ∈ R 2 {\ Anzeigestil a, b, c \ in \ mathbb {R} ^ {2}}. Dann ist die Fläche des Parallelogramms mit den Eckpunkten an a, b und c äquivalent auf den absoluten Wert der Determinante einer Matrix, die unter Verwendung von a, b und c als Zeilen erstellt wurde, wobei die letzte Spalte mit Einsen wie folgt aufgefüllt wurde:
K = | det |. {\ displaystyle K = \ left | \ det { \ begin {bmatrix} a_ {1} & a_ {2} & 1 \\ b_ {1} & b_ {2} & 1 \\ c_ {1} & c_ {2} & 1 \ end {bmatrix}} \ right |.}