Die Exponentialverteilung ist eine der weit verbreiteten kontinuierlichen Verteilungen. Es wird häufig verwendet, um die zwischen Ereignissen verstrichene Zeit zu modellieren. Wir werden nun die Exponentialverteilung mathematisch definieren und ihren Mittelwert und erwarteten Wert ableiten. Anschließend entwickeln wir die Intuition für die Verteilung und diskutieren einige interessante Eigenschaften.

Abbildung 4.5 zeigt das PDF der Exponentialverteilung für mehrere Werte von $ \ lambda $.

Lassen Sie $ X \ sim Exponential (\ lambda) $. Wir können den erwarteten Wert wie folgt ermitteln, indem wir die Integration nach Teilen verwenden:

Lassen Sie uns nun Var $ (X) $ finden. Wir haben

Also wir erhalten $$ \ textrm {Var} (X) = EX ^ 2- (EX) ^ 2 = \ frac {2} {\ lambda ^ 2} – \ frac {1} {\ lambda ^ 2} = \ frac { 1} {\ lambda ^ 2}. $$

Eine interessante Eigenschaft der Exponentialverteilung ist, dass sie als kontinuierliches Analog angesehen werden kann Um dies zu sehen, erinnern Sie sich an das zufällige Experiment hinter der geometrischen Verteilung: Sie werfen eine Münze (wiederholen Sie ein Bernoulli-Experiment), bis Sie die ersten Köpfe beobachten (Erfolg). Nehmen wir nun an, die Münzwürfe sind $ \ Delta $ Sekunden auseinander und in jedem Wurf ist die Erfolgswahrscheinlichkeit $ p = \ Delta \ lambda $. Nehmen wir auch an, dass $ \ Delta $ sehr klein ist, so dass die Münzwürfe zeitlich sehr nahe beieinander liegen und die Erfolgswahrscheinlichkeit in jedem Versuch gleich ist sehr niedrig. Sei $ X $ die Zeit, in der du die Tanne beobachtest st Erfolg. Wir werden im Abschnitt „Gelöste Probleme“ zeigen, dass die Verteilung von $ X $ gegen $ Exponential (\ lambda) $ konvergiert, wenn $ \ Delta $ gegen Null geht.

Um eine gewisse Intuition für diese Interpretation der Exponentialverteilung zu erhalten Angenommen, Sie warten auf ein Ereignis. Sie sind beispielsweise in einem Geschäft und warten auf den nächsten Kunden. In jeder Millisekunde ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein neuer Kunde das Geschäft betritt, sehr gering. Sie können sich vorstellen, dass in jeder Millisekunde eine Münze (mit einem sehr kleinen $ P (H) $) geworfen wird und wenn sie Köpfe landet, ein neuer Kunde eintritt. Wenn Sie jede Millisekunde eine Münze werfen, folgt die Zeit bis zum Eintreffen eines neuen Kunden ungefähr einer Exponentialverteilung.

Die obige Interpretation des Exponentials ist hilfreich, um die Eigenschaften der Exponentialverteilung besser zu verstehen. Die wichtigste dieser Eigenschaften ist, dass die Exponentialverteilung memorylos ist. Stellen Sie sich dazu eine exponentielle Zufallsvariable vor, die viele Münzen wirft, bis Sie die ersten Köpfe beobachten. Wenn wir die Münze mehrmals werfen und keine Köpfe beobachten, ist es von nun an so, als würden wir von vorne anfangen. Mit anderen Worten, die fehlgeschlagenen Münzwürfe wirken sich von nun an nicht mehr auf die Verteilung der Wartezeit aus. Der Grund dafür ist, dass die Münzwürfe unabhängig sind. Wir können dies formal wie folgt angeben: $$ P (X > x + a | X > a) = P (X > x). $$

Unter dem Gesichtspunkt der Wartezeit bis zum Eintreffen eines Kunden spielt die Eigenschaft memoryless keine Rolle, wie lange Sie gewartet haben bisher. Wenn Sie einen Kunden bis zum Zeitpunkt $ a $ nicht beobachtet haben, ist die Verteilung der Wartezeit (vom Zeitpunkt $ a $) bis zum nächsten Kunden dieselbe wie zu dem Zeitpunkt, als Sie zum Zeitpunkt Null begonnen haben. Beweisen wir die memorylose Eigenschaft der Exponentialverteilung. \ Beginne {align}% \ label {} \ nonumber P (X > x + a | X > a) & = \ frac {P \ big (X > x + a, X > a \ big)} {P (X > a)} \\ \ nonumber & = \ frac {P (X > x + a)} {P (X > a)} \\ \ nonumber & = \ frac {1-F_X (x + a)} {1-F_X (a)} \\ \ nonumber & = \ frac {e ^ { – \ lambda (x + a)}} {e ^ {- \ lambda a}} \\ \ nonumber & = e ^ {- \ lambda x} \\ \ nonumber & = P (X > x). \\ \ end {align}