Während vertikale Asymptoten das Verhalten eines Graphen beschreiben, wenn die Ausgabe sehr groß oder sehr klein wird, helfen horizontale Asymptoten dabei, das Verhalten eines Graphen zu beschreiben, wenn die Eingabe sehr groß oder sehr groß wird klein. Denken Sie daran, dass das Endverhalten eines Polynoms das des Leitbegriffs widerspiegelt. Ebenso spiegelt das Endverhalten einer rationalen Funktion das Verhältnis der führenden Terme der Zähler- und Nennerfunktionen wider.
Bei der Überprüfung auf horizontale Asymptoten gibt es drei unterschiedliche Ergebnisse:
Fall 1: Wenn der Grad des Nenners > Grad des Zählers ist, gibt es eine horizontale Asymptote bei y = 0.
Fall 2: Wenn der Grad des Nenners < Grad des Zählers um eins ist, erhalten wir eine schräge Asymptote.
Beachten Sie, dass der Graph einer rationalen Funktion niemals eine vertikale Asymptote kreuzen wird, die Grafik kann eine horizontale oder nicht kreuzen schräge Asymptote. Auch wenn der Graph einer rationalen Funktion viele vertikale Asymptoten haben kann, hat der Graph höchstens eine horizontale (oder schräge) Asymptote.
Es sollte beachtet werden, dass, wenn der Grad des Zählers größer ist als der Grad des Nenners um mehr als eins ahmt das Endverhalten des Graphen das Verhalten des reduzierten Endverhaltens \ Bruchteils nach. Wenn wir zum Beispiel die Funktion
mit Endverhalten
Das Endverhalten des Graphen würde dem eines geraden Polynoms mit einem positiven Leitkoeffizienten ähnlich sehen.
Ein allgemeiner Hinweis: Horizontale Asymptoten von Rationale Funktionen
Die horizontale Asymptote einer rationalen Funktion kann durch Betrachten der Grade von Zähler und Nenner bestimmt werden.
- Der Grad des Zählers ist kleiner als der Grad des Nenners: horizontale Asymptote bei y = 0.
- Der Grad des Zählers ist um eins größer als der Grad des Nenners: keine horizontale Asymptote; schräge Asymptote.
- Der Grad des Zählers entspricht dem Grad des Nenners: horizontale Asymptote im Verhältnis der führenden Koeffizienten.
Ein allgemeiner Hinweis: Abschnitte rationaler Funktionen
Eine rationale Funktion hat einen y-Abschnitt, wenn die Eingabe Null ist, wenn die Funktion bei Null definiert ist. Eine rationale Funktion hat keinen y-Achsenabschnitt, wenn die Funktion nicht bei Null definiert ist.
Ebenso hat eine rationale Funktion x-Achsenabschnitte an den Eingängen, die bewirken, dass der Ausgang Null ist. Da ein \ Bruch nur dann gleich Null ist, wenn der Zähler Null ist, können x-Abschnitte nur auftreten, wenn der Zähler der rationalen Funktion gleich Null ist.
Versuchen Sie es 7
Wenn die reziproke Quadratfunktion um 3 Einheiten nach rechts und um 4 Einheiten nach unten verschoben ist, schreiben Sie dies als rationale Funktion. Suchen Sie dann die x- und y-Abschnitte sowie die horizontalen und vertikalen Asymptoten.
Lösung