Seine Werke
Es gibt neun Abhandlungen von Archimedes auf Griechisch. Die Hauptergebnisse in Auf der Kugel und dem Zylinder (in zwei Büchern) sind, dass die Oberfläche einer Kugel mit dem Radius r viermal so groß ist wie die ihres größten Kreises (in der modernen Notation S = 4πr2) und dass das Volumen einer Kugel ist zwei Drittel des Zylinders, in den er eingeschrieben ist (was sofort zur Formel für das Volumen führt, V = 4 / 3πr3). Archimedes war stolz genug auf die letztere Entdeckung, um Anweisungen zu hinterlassen, dass sein Grab mit einer in einen Zylinder eingeschriebenen Kugel markiert werden sollte. Marcus Tullius Cicero (106–43 v. Chr.) Fand das mit Vegetation bewachsene Grab anderthalb Jahrhunderte nach Archimedes Tod.
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Die Messung des Kreises ist ein Fragment einer längeren Arbeit, in der π (pi), das Verhältnis des Umfangs zum Durchmesser eines Kreises, liegt zwischen den Grenzen von 3 10/71 und 3 1/7. Der Ansatz von Archimedes zur Bestimmung von π, der darin besteht, reguläre Polygone mit einer großen Anzahl von Seiten zu beschriften und zu umschreiben, wurde von allen verfolgt, bis im 15. Jahrhundert in Indien und im 17. Jahrhundert in Europa unendliche Reihenerweiterungen auftraten. Diese Arbeit enthält auch genaue Näherungen (ausgedrückt als Verhältnis von ganzen Zahlen) zu den Quadratwurzeln von 3 und mehreren großen Zahlen.
Über Konoide und Sphäroide befasst sich mit der Bestimmung des Volumens der durch die Umdrehung von gebildeten Festkörpersegmente ein Kegelschnitt (Kreis, Ellipse, Parabel oder Hyperbel) um seine Achse. In modernen Begriffen sind dies Integrationsprobleme. (Siehe Kalkül.) Auf Spiralen entwickeln sich viele Eigenschaften von Tangenten an und Bereiche, die mit der Spirale von Archimedes verbunden sind, dh der Ort eines Punktes, der sich mit gleichmäßiger Geschwindigkeit entlang einer geraden Linie bewegt, die sich selbst mit gleichmäßiger Geschwindigkeit um einen festen Punkt dreht . Es war eine der wenigen Kurven jenseits der Geraden und der in der Antike bekannten Kegelschnitte.
Über das Gleichgewicht der Flugzeuge (oder Schwerpunkte der Flugzeuge; in zwei Büchern) befasst sich hauptsächlich mit der Festlegung der Schwerpunkte verschiedener geradliniger ebener Figuren und Segmente der Parabel und des Paraboloids. Das erste Buch gibt vor, das „Gesetz des Hebels“ (Größengleichgewicht in Abständen vom Drehpunkt im umgekehrten Verhältnis zu ihren Gewichten) festzulegen, und Archimedes wurde hauptsächlich auf der Grundlage dieser Abhandlung als Begründer der theoretischen Mechanik bezeichnet. Ein Großteil dieses Buches ist jedoch zweifellos nicht authentisch, da es aus unfähigen späteren Ergänzungen oder Überarbeitungen besteht, und es scheint wahrscheinlich, dass das Grundprinzip des Gesetzes des Hebels und – möglicherweise – das Konzept des Schwerpunkts festgelegt wurden auf mathematischer Basis von Wissenschaftlern früher als Archimedes. Sein Beitrag bestand eher darin, diese Konzepte auf konische Abschnitte auszudehnen.
Die Quadratur der Parabel demonstriert zunächst mit „mechanischen“ Mitteln (wie in der unten diskutierten Methode) und dann, durch herkömmliche geometrische Verfahren, dass die Fläche eines Segments einer Parabel 4/3 der Fläche des Dreiecks mit der gleichen Basis und Höhe wie dieses Segment beträgt. Dies ist wiederum ein Problem bei der Integration.
Der Sand-Reckoner ist eine kleine Abhandlung, die ein Jeu desprit ist, das für den Laien geschrieben wurde – sie ist an Gelon, den Sohn von Hieron, gerichtet – und die dennoch enthält einige zutiefst originelle Mathematik. Ihr Ziel ist es, die Unzulänglichkeiten des griechischen numerischen Notationssystems zu beheben, indem gezeigt wird, wie eine große Zahl ausgedrückt werden kann – die Anzahl der Sandkörner, die erforderlich wären, um das gesamte Universum zu füllen. Tatsächlich schafft Archimedes ein Ortswert-Notationssystem mit einer Basis von 100.000.000. (Das war anscheinend eine völlig originelle Idee, da er keine Kenntnis vom zeitgenössischen babylonischen Ortswertsystem mit Basis 60 hatte.) Die Arbeit ist auch deshalb von Interesse, weil sie die detaillierteste erhaltene Beschreibung des heliozentrischen Systems von Aristarchus von Samos liefert ( c. 310–230 v. Chr.) und weil es einen Bericht über ein geniales Verfahren enthält, mit dem Archimedes den scheinbaren Durchmesser der Sonne durch Beobachtung mit einem Instrument bestimmt hat.
Methode bezüglich mechanischer Theoreme beschreibt einen Entdeckungsprozess in der Mathematik . Es ist das einzige erhaltene Werk aus der Antike und eines der wenigen aus jeder Zeit, das sich mit diesem Thema befasst.Darin erzählt Archimedes, wie er mit einer „mechanischen“ Methode zu einigen seiner wichtigsten Entdeckungen gelangt ist, einschließlich der Fläche eines parabolischen Segments sowie der Oberfläche und des Volumens einer Kugel. Die Technik besteht darin, jede der beiden Figuren in eine unendliche zu teilen aber gleiche Anzahl von unendlich dünnen Streifen, dann „Abwägen“ jedes entsprechenden Paar dieser Streifen gegeneinander auf einer fiktiven Waage, um das Verhältnis der beiden ursprünglichen Figuren zu erhalten. Archimedes betont, dass dieses Verfahren, obwohl es als heuristische Methode nützlich ist, keinen strengen Beweis darstellt.
Über schwebende Körper (in zwei Büchern) ist nur teilweise auf Griechisch erhalten, der Rest auf mittelalterliche lateinische Übersetzung aus dem Griechischen . Es ist das erste bekannte Werk zur Hydrostatik, dessen Gründer Archimedes ist. Ziel ist es, die Positionen, die verschiedene Feststoffe beim Schweben in einer Flüssigkeit einnehmen, entsprechend ihrer Form und der Variation ihrer spezifischen Gewichte zu bestimmen. Im ersten Buch werden verschiedene allgemeine Prinzipien festgelegt, insbesondere das sogenannte Archimedes-Prinzip: Ein Feststoff, der dichter als eine Flüssigkeit ist, wird beim Eintauchen in diese Flüssigkeit durch das Gewicht der verdrängten Flüssigkeit leichter. Das zweite Buch ist eine mathematische Tour de Force, die in der Antike ihresgleichen sucht und seitdem selten erreicht wird. Darin bestimmt Archimedes die verschiedenen Stabilitätspositionen, die ein rechtes Rotationsparaboloid einnimmt, wenn es in einer Flüssigkeit mit höherem spezifischem Gewicht gemäß geometrischen und hydrostatischen Variationen schwimmt.
Archimedes ist aus Referenzen späterer Autoren bekannt. eine Reihe anderer Werke geschrieben zu haben, die nicht überlebt haben. Von besonderem Interesse sind Abhandlungen über Katoptrie, in denen er unter anderem das Phänomen der Brechung erörterte; auf den 13 semiregulären (archimedischen) Polyedern (jene Körper, die durch reguläre Polygone begrenzt sind, die nicht unbedingt alle vom gleichen Typ sind und in eine Kugel eingeschrieben werden können); und das „Viehproblem“ (in einem griechischen Epigramm erhalten), das in der unbestimmten Analyse ein Problem darstellt, mit acht Unbekannten. Zusätzlich zu diesen überleben mehrere Werke in arabischer Übersetzung, die Archimedes zugeschrieben werden und von ihm in ihrem nicht komponiert worden sein können gegenwärtige Form, obwohl sie „archimedische“ Elemente enthalten können. Dazu gehört eine Arbeit zum Einschreiben des regulären Siebenecks in einen Kreis; eine Sammlung von Deckspelzen (als wahr angenommene Sätze, die zum Beweis eines Satzes verwendet werden) und ein Buch über das Berühren von Kreisen, die beide mit der Geometrie der Elementarebene zu tun haben; und der Magen (von dem Teile auch auf Griechisch erhalten sind), der sich mit einem Quadrat befasst, das für ein Spiel oder ein Puzzle in 14 Teile unterteilt ist.
Archimedes mathematische Beweise und Präsentationen zeigen große Kühnheit und Originalität des Denkens Hand und extreme Strenge auf der anderen Seite, die den höchsten Standards der zeitgenössischen Geometrie entsprechen. Während die Methode zeigt, dass er durch „mechanisches“ Denken mit Infinitesimalen zu den Formeln für die Oberfläche und das Volumen einer Kugel gelangt ist, verwendet er in seinen tatsächlichen Beweisen für die Ergebnisse in Sphere and Cylinder nur die strengen Methoden der sukzessiven endlichen Approximation, die es gab wurde von Eudoxus von Cnidus im 4. Jahrhundert v. Chr. erfunden. Diese Methoden, deren Meister Archimedes war, sind das Standardverfahren in all seinen Arbeiten zur höheren Geometrie, die sich mit dem Nachweis von Ergebnissen über Flächen und Volumen befassen. Ihre mathematische Genauigkeit steht in starkem Kontrast zu den „Beweisen“ der ersten Praktiker der Integralrechnung im 17. Jahrhundert, als Infinitesimale wieder in die Mathematik eingeführt wurden. Die Ergebnisse von Archimedes sind jedoch nicht weniger beeindruckend als ihre. Die gleiche Freiheit von konventionellen Denkweisen zeigt sich im arithmetischen Bereich von Sand-Reckoner, der ein tiefes Verständnis der Natur des numerischen Systems zeigt.
In der Antike war Archimedes auch als herausragender Astronom bekannt: Seine Sonnenwende-Beobachtungen wurden von Hipparchus (blühte um 140 v. Chr.), dem bedeutendsten antiken Astronomen, verwendet. Über diese Seite von Archimedes Aktivitäten ist sehr wenig bekannt, obwohl Sand-Reckoner sein großes astronomisches Interesse und seine praktischen Beobachtungsfähigkeiten offenbart. Es wurde jedoch eine Reihe von Zahlen überliefert, die die Entfernungen der verschiedenen Himmelskörper von der Erde angeben. Es wurde gezeigt, dass sie nicht auf beobachteten astronomischen Daten beruhen, sondern auf einer „pythagoreischen“ Theorie, die die räumlichen Intervalle zwischen ihnen assoziiert die Planeten mit musikalischen Intervallen. Obwohl es überraschend ist, diese metaphysischen Spekulationen in der Arbeit eines praktizierenden Astronomen zu finden, gibt es guten Grund zu der Annahme, dass ihre Zuordnung zu Archimedes korrekt ist.