Mentre gli asintoti verticali descrivono il comportamento di un grafico quando loutput diventa molto grande o molto piccolo, gli asintoti orizzontali aiutano a descrivere il comportamento di un grafico quando linput diventa molto grande o molto piccolo. Ricorda che il comportamento finale di un polinomio rispecchierà quello del termine principale. Allo stesso modo, il comportamento finale di una funzione razionale rispecchierà quello del rapporto tra i termini principali delle funzioni numeratore e denominatore.
Ci sono tre risultati distinti quando si controllano gli asintoti orizzontali:
Caso 1: se il grado del denominatore > grado del numeratore, è presente un asintoto orizzontale in y = 0.
Caso 2: se il grado del denominatore < grado del numeratore per uno, otteniamo un asintoto inclinato.
Si noti che, mentre il grafico di una funzione razionale non attraverserà mai un asintoto verticale, il grafico può o non può attraversare un orizzontale o asintoto inclinato. Inoltre, sebbene il grafico di una funzione razionale possa avere molti asintoti verticali, il grafico avrà al massimo un asintoto orizzontale (o inclinato).
Va notato che, se il grado del numeratore è maggiore rispetto al grado del denominatore di più di uno, il comportamento finale del grafico imiterà il comportamento del comportamento finale ridotto \ frazione. Ad esempio, se avessimo la funzione
con comportamento finale
il comportamento finale del grafico sarebbe simile a quello di un polinomio pari con un coefficiente iniziale positivo.
Nota generale: Asintoti orizzontali di Funzioni razionali
Lasintoto orizzontale di una funzione razionale può essere determinato osservando i gradi del numeratore e del denominatore.
- Il grado del numeratore è inferiore al grado del denominatore: asintoto orizzontale in y = 0.
- Il grado del numeratore è maggiore del grado del denominatore di uno: nessun asintoto orizzontale; asintoto inclinato.
- Il grado del numeratore è uguale al grado del denominatore: asintoto orizzontale al rapporto dei coefficienti principali.
Nota generale: Intercette di funzioni razionali
Una funzione razionale avrà unintercetta y quando linput è zero, se la funzione è definita a zero. Una funzione razionale non avrà unintercetta y se la funzione non è definita a zero.
Allo stesso modo, una funzione razionale avrà intercette x agli input che fanno sì che loutput sia zero. Poiché una \ frazione è uguale a zero solo quando il numeratore è zero, le intercettazioni x possono verificarsi solo quando il numeratore della funzione razionale è uguale a zero.
Prova 7
Data la funzione reciproca al quadrato che è spostata \ a destra di 3 unità e in basso di 4 unità, scrivila come una funzione razionale. Quindi, trova le intercette x e y e gli asintoti orizzontali e verticali.
Soluzione