Le sue opere
Ci sono nove trattati esistenti di Archimede in greco. I risultati principali in On the Sphere and Cylinder (in due libri) sono che larea della superficie di qualsiasi sfera di raggio r è quattro volte quella del suo cerchio più grande (nella notazione moderna, S = 4πr2) e che il volume di una sfera è due terzi di quella del cilindro in cui è inscritto (che porta immediatamente alla formula del volume, V = 4 / 3πr3). Archimede era abbastanza orgoglioso di questultima scoperta da lasciare istruzioni per contrassegnare la sua tomba con una sfera inscritta in un cilindro. Marco Tullio Cicerone (106–43 a.C.) trovò la tomba, ricoperta di vegetazione, un secolo e mezzo dopo la morte di Archimede.
Encyclopædia Britannica, Inc.
La misurazione del cerchio è un frammento di unopera più lunga in cui π (pi), il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio, si trova tra i limiti di 3 10/71 e 3 1/7. Lapproccio di Archimede alla determinazione del π, che consiste nelliscrivere e circoscrivere poligoni regolari con un gran numero di lati, fu seguito da tutti fino allo sviluppo di espansioni in serie infinite in India durante il XV secolo e in Europa durante il XVII secolo. Quel lavoro contiene anche accurate approssimazioni (espresse come rapporti di numeri interi) alle radici quadrate di 3 e diversi grandi numeri.
Su Conoids and Spheroids si occupa di determinare i volumi dei segmenti di solidi formati dalla rivoluzione di una sezione conica (cerchio, ellisse, parabola o iperbole) attorno al suo asse. In termini moderni, questi sono problemi di integrazione. (Vedi calcolo). On Spirals sviluppa molte proprietà delle tangenti e delle aree associate alla spirale di Archimede, cioè il luogo di un punto che si muove con velocità uniforme lungo una linea retta che a sua volta sta ruotando con velocità uniforme attorno a un punto fisso . Era una delle poche curve oltre la linea retta e le sezioni coniche conosciute nellantichità.
Sullequilibrio dei piani (o centri di gravità dei piani; in due libri) si occupa principalmente di stabilire il centri di gravità di varie figure piane rettilinee e segmenti della parabola e del paraboloide. Il primo libro pretende di stabilire la “legge della leva” (le grandezze si bilanciano a distanze dal fulcro in rapporto inverso ai loro pesi), ed è principalmente sulla base di quel trattato che Archimede è stato chiamato il fondatore della meccanica teorica. Gran parte di quel libro, tuttavia, è indubbiamente non autentico, costituito come fa da inette aggiunte o rielaborazioni successive, e sembra probabile che siano stati stabiliti il principio fondamentale della legge della leva e, forse, il concetto di centro di gravità. su base matematica da studiosi precedenti ad Archimede. Il suo contributo è stato piuttosto quello di estendere quei concetti a sezioni coniche.
La quadratura della parabola dimostra, prima con mezzi “meccanici” (come nel Metodo, discusso di seguito) e quindi con metodi geometrici convenzionali, che larea di qualsiasi segmento di una parabola è 4/3 dellarea del triangolo avente la stessa base e altezza di quel segmento. Questo è, ancora una volta, un problema di integrazione.
The Sand-Reckoner è un piccolo trattato che è un jeu desprit scritto per i profani – è indirizzato a Gelon, figlio di Hieron – che tuttavia contiene una matematica profondamente originale. Il suo scopo è porre rimedio alle inadeguatezze del sistema di notazione numerica greca mostrando come esprimere un numero enorme: il numero di granelli di sabbia che ci vorrebbe per riempire lintero universo. Ciò che Archimede fa, in effetti, è creare un sistema di notazione valore-posizione, con una base di 100.000.000. (Questa era apparentemente unidea del tutto originale, dal momento che non aveva alcuna conoscenza del sistema valore-posto babilonese contemporaneo con base 60). Il lavoro è anche di interesse perché fornisce la descrizione più dettagliata superstite del sistema eliocentrico di Aristarco di Samo ( 310-230 aC circa) e perché contiene un resoconto di una procedura ingegnosa che Archimede usò per determinare il diametro apparente del Sole mediante losservazione con uno strumento.
Il metodo riguardante i teoremi meccanici descrive un processo di scoperta in matematica . È lunica opera dellantichità sopravvissuta, e una delle poche di qualsiasi periodo, che tratta questo argomento.In esso Archimede racconta come ha utilizzato un metodo “meccanico” per arrivare ad alcune delle sue scoperte chiave, tra cui larea di un segmento parabolico e la superficie e il volume di una sfera. La tecnica consiste nel dividere ciascuna delle due figure in un infinito ma uguale numero di strisce infinitamente sottili, quindi “pesare” ciascuna coppia corrispondente di queste strisce luna contro laltra su una bilancia fittizia per ottenere il rapporto tra le due figure originali. Archimedes sottolinea che, sebbene utile come metodo euristico, questa procedura non costituisce una prova rigorosa.
On Floating Bodies (in due libri) sopravvive solo in parte in greco, il resto nella traduzione latina medievale dal greco . È la prima opera conosciuta sullidrostatica, di cui Archimede è riconosciuto come fondatore. Il suo scopo è determinare le posizioni che assumeranno vari solidi quando galleggiano in un fluido, in base alla loro forma e alla variazione del loro peso specifico. Nel primo libro vengono stabiliti vari principi generali, in particolare quello che è diventato noto come principio di Archimede: un solido più denso di un fluido, quando immerso in quel fluido, sarà più leggero dal peso del fluido che sposta. Il secondo libro è un tour de force matematico ineguagliato nellantichità e raramente eguagliato da allora. In esso Archimede determina le diverse posizioni di stabilità che assume un paraboloide destro di rivoluzione quando galleggia in un fluido di maggiore gravità specifica, secondo variazioni geometriche e idrostatiche.
Archimede è noto, da riferimenti di autori successivi, di aver scritto una serie di altre opere che non sono sopravvissute. Di particolare interesse sono i trattati di catottrica, in cui si è discusso, tra laltro, del fenomeno della rifrazione; sui 13 poliedri semiregolari (archimedei) (quei corpi delimitati da poligoni regolari, non necessariamente tutti dello stesso tipo, che possono essere inscritti in una sfera); e il “Problema del bestiame” (conservato in un epigramma greco), che pone un problema in analisi indeterminata, con otto incognite. Oltre a queste, sopravvivono diverse opere in traduzione araba attribuite ad Archimede che non possono essere state composte da lui nel loro forma presente, sebbene possano contenere elementi “archimedei”. Questi includono un lavoro sulliscrizione dellettagono regolare in un cerchio; una raccolta di lemmi (proposizioni presunte per essere vere che sono usate per dimostrare un teorema) e un libro, On Touching Circles, entrambi aventi a che fare con la geometria del piano elementare; e lo Stomachion (parti del quale sopravvivono anche in greco), che tratta di un quadrato diviso in 14 pezzi per un gioco o un puzzle.
Le dimostrazioni matematiche e la presentazione di Archimede mostrano grande audacia e originalità di pensiero su quello mano ed estremo rigore dallaltro, rispondendo ai più alti standard della geometria contemporanea. Mentre il Metodo mostra che è arrivato alle formule per larea della superficie e il volume di una sfera con un ragionamento “meccanico” che coinvolge infinitesimi, nelle sue prove effettive dei risultati in Sfera e Cilindro usa solo i metodi rigorosi di approssimazione finita successiva che avevano è stato inventato da Eudosso di Cnido nel IV secolo a.C. Questi metodi, di cui Archimede era un maestro, sono la procedura standard in tutte le sue opere sulla geometria superiore che si occupano di provare risultati su aree e volumi. Il loro rigore matematico è in forte contrasto alle “prove” dei primi professionisti del calcolo integrale nel XVII secolo, quando gli infinitesimi furono reintrodotti in matematica. Eppure i risultati di Archimede non sono meno impressionanti dei loro. La stessa libertà dai modi di pensare convenzionali è evidente nel campo aritmetico in Sand-Reckoner, che mostra una profonda comprensione della natura del sistema numerico.
Nellantichità Archimede era anche conosciuto come un eccezionale astronomo: le sue osservazioni dei solstizi furono usate da Ipparco (fiorì intorno al 140 aC), il più antico astronomo. Si sa molto poco di questo aspetto dellattività di Archimede, sebbene Sand-Reckoner riveli il suo vivo interesse astronomico e la sua capacità di osservazione pratica. Tuttavia, è stata tramandata una serie di numeri a lui attribuiti che danno le distanze dei vari corpi celesti dalla Terra, che è stato dimostrato essere basata non su dati astronomici osservati ma su una teoria “pitagorica” che associa gli intervalli spaziali tra i pianeti con intervalli musicali. Per quanto sia sorprendente trovare quelle speculazioni metafisiche nel lavoro di un astronomo praticante, ci sono buone ragioni per credere che la loro attribuzione ad Archimede sia corretta.