Concepte cheie
Matematică
Probabilitate
Statistici
Introducere
Ai ai observat vreodată cum uneori ceea ce pare logic se dovedește fals cu puțină matematică? De exemplu, câți oameni credeți că ar fi nevoie pentru a face un sondaj, în medie, pentru a găsi doi oameni care să aibă aceeași zi de naștere? Din cauza probabilității, uneori un eveniment este mai probabil să apară decât credem noi. În acest caz, dacă examinați un grup aleatoriu de doar 23 de persoane, există de fapt aproximativ 50-50 șanse ca doi dintre ei să aibă aceeași zi de naștere. Acest lucru este cunoscut ca paradoxul zilei de naștere. Nu crezi că este adevărat? Puteți să-l testați și să vedeți probabilitatea matematică în acțiune!
Fundal
Paradoxul zilei de naștere, cunoscut și sub numele de problema zilei de naștere, afirmă că într-un grup aleatoriu de 23 de persoane, există o șansă de aproximativ 50% că doi oameni au aceeași zi de naștere. Este cu adevărat adevărat? Există mai multe motive pentru care acest lucru pare un paradox. Unul este că, atunci când se află într-o cameră cu alte 22 de persoane, dacă o persoană își compară ziua de naștere cu zilele de naștere ale celorlalți oameni, ar face doar 22 de comparații – doar 22 de șanse ca oamenii să împărtășească aceeași zi de naștere.
Dar atunci când toate cele 23 de zile de naștere sunt comparate unele cu altele, se fac mult mai mult de 22 de comparații. Cu cât mai mult? Ei bine, prima persoană are 22 de comparații de făcut, dar a doua persoană a fost deja comparată cu prima persoană, deci există doar 21 de comparații de făcut. A treia persoană are apoi 20 de comparații, a patra persoană are 19 și așa mai departe. Dacă adăugați toate comparațiile posibile (22 + 21 + 20 + 19 + … +1) suma este 253 de comparații sau combinații. În consecință, fiecare grup de 23 de persoane implică 253 de comparații sau 253 de șanse pentru potrivirea zilelor de naștere.
Materiale
• Grupuri de 23 sau mai multe persoane (10 până la 12 astfel de grupuri) sau o sursă cu zile de naștere aleatorii (consultați Pregătirea de mai jos pentru sfaturi)
• Hârtie și pix sau creion
• Calculator (opțional)
Pregătire
• Colectează zile de naștere pentru grupuri aleatorii de 23 sau mai multe persoane. În mod ideal, ar trebui să obțineți 10 până la 12 grupuri de 23 sau mai multe persoane, astfel încât să aveți suficiente grupuri diferite de comparat. (Nu aveți nevoie de an pentru zilele de naștere, doar luna și ziua.)
• Sfat: Iată câteva modalități prin care puteți găsi un număr de persoane grupate aleatoriu: Rugați profesorii de școală să transmită o listă în jurul fiecăruia din clasele lor pentru a colecta zilele de naștere pentru elevii din clasă (majoritatea școlilor au în jur de 25 de elevi într-o clasă); utilizați zilele de naștere ale jucătorilor din echipele de baseball din liga majoră (aceste informații pot fi găsite cu ușurință pe Internet); sau utilizați zilele de naștere altor persoane aleatorii care folosesc surse online.
Procedură
• Pentru fiecare grup de 23 sau mai multe zile de naștere pe care le-ați colectat, sortați-le pentru a vedea dacă există meciuri de zile de naștere în fiecare grup.
• Câte dintre grupurile dvs. au două sau mai multe persoane cu aceeași zi de naștere? Pe baza paradoxului zilei de naștere, câte grupuri v-ați aștepta să găsiți care au două persoane cu aceeași zi de naștere? Paradoxul zilei de naștere este valabil?
• Extra: În acest ați folosit un grup de 23 sau mai multe persoane, dar ați putea încerca folosind grupuri mai mari folosiți un grup de 366 de persoane – poate avea cel mai mare număr de zile pe an – șansele ca două persoane să aibă aceeași zi de naștere sunt de 100% (cu excepția zilelor de naștere din ziua de 29 februarie bisect), dar ce credeți că sunt șansele într-un grup de 60 sau 75 de persoane?
• Extra: Lansarea zarurilor este o modalitate excelentă de a investiga probabilitatea. Puteți încerca să aruncați trei zaruri cu 10 fețe și cinci zaruri cu șase fețe de 100 de ori fiecare și să înregistrați rezultatele fiecărei aruncări. Calculați probabilitatea matematică de a obține o sumă mai mare de 18 pentru fiecare combinație de zaruri atunci când le aruncați de 100 de ori. (Acest site Web vă poate învăța cum să calculați probabilitatea: Probability Central din Oracle ThinkQuest.) Care combinație are o probabilitate matematică mai mare și a fost adevărat atunci când le-ați rulat?
Observații și rezultate
A făcut aproximativ 50 la sută din grupurile de 23 sau mai multe persoane includ cel puțin două persoane cu aceleași zile de naștere?
Atunci când comparăm probabilitățile cu zilele de naștere, poate fi mai ușor să analizăm probabilitatea ca oamenii să nu împărtășească ziua de naștere. Ziua de naștere a unei persoane este una din 365 de posibilități (cu excepția zilei de naștere a zilei de 29 februarie). Probabilitatea ca o persoană să nu aibă aceeași zi de naștere ca o altă persoană este împărțită la 365, deoarece există 364 de zile care nu sunt ziua de naștere a unei persoane. . Aceasta înseamnă că oricare două persoane au o șansă de 364/365, sau 99,726027 la sută, să nu se potrivească zilelor de naștere.
După cum sa menționat anterior, într-un grup de 23 de persoane, există 253 de comparații sau combinații care pot fi făcut. Deci, nu ne uităm la o singură comparație, ci la 253 de comparații. Fiecare dintre cele 253 de combinații are aceleași cote, 99,726027 la sută, de a nu fi o potrivire. Dacă înmulțiți 99,726027 la sută cu 99.726027 253 ori sau calculați (364/365) 253, veți găsi o șansă de 49,952% ca toate cele 253 de comparații să nu conțină potriviri. În consecință, șansele că există un meci de ziua de naștere în aceste 253 de comparații este de 1 – 49,952 la sută = 50,048 la sută, sau puțin peste jumătate! Cu cât efectuați mai multe probe, cu atât probabilitatea reală ar trebui să se apropie de 50%.
Mai multe de explorat
„Înțelegerea paradoxului zilei de naștere” din BetterExplained
„Probability Central” din Oracle ThinkQuest
„Combinații și permutări” de la MathIsFun
„Paradoxul zilei de naștere” de la Science Buddies
Această activitate ți-a fost adusă în parteneriat cu Science Buddies