Un paralelogram poate fi rearanjat într-un dreptunghi cu aceeași zonă.
Animație pentru formula de zonă K = bh {\ displaystyle K = bh}.
Toate formulele de zonă pentru patrulaterele convexe generale se aplică paralelogramelor. Alte formule sunt specifice paralelogramelor:
Un paralelogram cu baza b și înălțimea h poate fi împărțit într-un trapez și triunghi dreptunghiular și rearanjat într-un dreptunghi, așa cum se arată în figura din stânga. Aceasta înseamnă că aria unui paralelogram este aceeași cu cea a unui dreptunghi cu aceeași bază și înălțime:
K = b h. {\ displaystyle K = bh.}
Zona paralelogramului este zona regiunii albastre, care este interiorul a paralelogramului
Formula bazei × înălțimii poate fi de asemenea derivată folosind figura din dreapta. Zona K a paralelogramului din dreapta (zona albastră) este aria totală a dreptunghiului mai puțin aria celor două triunghiuri portocalii. Aria dreptunghiului este
K rect = (B + A) × H {\ displaystyle K _ {\ text {rect}} = (B + A) \ times H \,}
și aria de un singur triunghi portocaliu este
K tri = 1 2 A × H. {\ displaystyle K _ {\ text {tri}} = {\ frac {1} {2}} A \ times H. \,}
Prin urmare, aria paralelogramului este
K = K rect – 2 × K tri = ((B + A) × H) – (A × H) = B × H. {\ displaystyle K = K _ {\ text {rect}} – 2 \ ori K _ {\ text {tri}} = ((B + A) \ ori H) – (A \ ori H) = B \ ori H.}
O altă formulă de zonă, pentru două laturi B și C și unghiul θ, este
K = B ⋅ C ⋅ sin θ. {\ displaystyle K = B \ cdot C \ cdot \ sin \ theta. \,}
Zona unui paralelogram cu laturile B și C (B ≠ C) și unghiul γ {\ displaystyle \ gamma} la intersecția diagonalele sunt date de
K = | tan γ | 2 ⋅ | B 2 – C 2 | . {\ displaystyle K = {\ frac {| \ tan \ gamma |} {2}} \ cdot \ left | B ^ {2} -C ^ {2} \ right |.}
Când paralelogramul este specificat din lungimile B și C ale celor două laturi adiacente împreună cu lungimea D1 a oricărei diagonale, atunci zona poate fi găsită din formula lui Heron. Mai exact este
K = 2 S (S – B) (S – C ) (S – D 1) {\ displaystyle K = 2 {\ sqrt {S (SB) (SC) (S-D_ {1})}}}
Zona din punct de vedere al coordonatelor cartesiene ale vârfurilorEdit
Fie punctele a, b, c ∈ R 2 {\ displaystyle a, b, c \ in \ mathbb {R} ^ {2}}. Atunci aria paralelogramului cu vârfuri la a, b și c este echivalentă la valoarea absolută a determinantului unei matrice construite folosind a, b și c ca rânduri cu ultima coloană căptușită folosind altele după cum urmează:
K = | det |. {\ displaystyle K = \ left | \ det { \ begin {bmatrix} a_ {1} & a_ {2} & 1 \\ b_ {1} & b_ {2} & 1 \\ c_ {1} & c_ {2} & 1 \ end {bmatrix}} \ dreapta |.}