Dobândă compusă

Compunerea periodică Editați

P ′ = P (1 + rn) nt {\ displaystyle P „= P \ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ right) ^ {nt}}

unde:

P este suma principală originală P” este noua sumă principală r este rata nominală anuală a dobânzii n este frecvența de compunere t este durata totală a timpului în care se aplică dobânda (exprimată utilizând aceleași unități de timp ca r, de obicei ani).

Dobânda compusă totală generată este valoarea finală minus principalul inițial:

I = P (1 + rn) nt – P {\ displaystyle I = P \ left (1 + {\ frac {r} { n}} \ right) ^ {nt} -P}

Exemplul 1Edit

P ′ = 1 500 × (1 + 0,043 4) 4 × 6 ≈ 1 938,84 {\ displaystyle P „= 1 \, 500 \ times \ left (1 + {\ frac {0.043} {4}} \ right) ^ {4 \ times 6} \ approx 1 \, 938.84}

Deci, noul principal P ′ {\ displaystyle P „} după 6 ani reprezintă aproximativ 1.938,84 USD.

Scăderea principalului principal din această sumă dă suma dobânzii primite:

1 938,84 – 1 500 = 438,84 {\ displaystyle 1 \, 938,84-1 \, 500 = 438.84}

Exemplul 2Edit

P ′ = 1 500 × (1 + (0,043 × 2)) 6 2 ≈ 1 921,24 {\ displaystyle P „= 1 \, 500 \ times \ left (1+ ( 0,043 \ times 2) \ right) ^ {\ frac {6} {2}} \ approx 1 \, 921,24}

Deci, soldul după 6 ani este de aproximativ 1.921,24 USD.

dobânda primită poate fi calculată scăzând principalul din această sumă.

1 921,24 – 1 500 = 421,24 {\ displaystyle 1 \, 921,24-1 \, 500 = 421 .24}

Interesul este mai puțin comparat cu cazul anterior, ca urmare a frecvenței mai mici de compunere.

Funcția de acumulare Editați

Deoarece P principal este pur și simplu un coeficient, este adesea abandonat pentru simplitate, iar funcția de acumulare rezultată este utilizată în schimb. Funcția de acumulare arată la ce crește $ 1 după orice perioadă de timp.

Funcțiile de acumulare pentru dobândă simplă și compusă sunt

a (t) = 1 + rt {\ displaystyle a (t) = 1 + rt \,} a (t) = (1 + rn) nt {\ displaystyle a (t) = \ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ right) ^ {nt}}

Dacă nt = 1 {\ displaystyle nt = 1}, atunci aceste două funcții sunt aceleași.

Continuing compoundingEdit

Ca n , numărul perioadelor de compunere pe an, crește fără limită, cazul este cunoscut sub numele de compunere continuă, caz în care rata anuală efectivă se apropie de o limită superioară de er – 1, unde e este o constantă matematică care este baza naturii logaritm.

Compunerea continuă poate fi considerată ca făcând perioada de compunere infinit de mică, realizată luând limita pe măsură ce n merge la infinit. A se vedea definițiile funcției exponențiale pentru dovada matematică a acestei limite. Cantitatea după t perioade de compunere continuă poate fi exprimată în termeni de cantitate inițială P0 ca

P (t) = P 0 e r t. {\ displaystyle P (t) = P_ {0} e ^ {rt}.}

Forța interesuluiEdit

Deoarece numărul perioadelor de compunere n {\ displaystyle n} ajunge la infinit în compunerea continuă, rata dobânzii compuse continue este denumită forța dobânzii δ {\ displaystyle \ delta}.

În matematică, funcțiile de acumulare sunt adesea exprimate în termeni de e, baza logaritmului natural. Acest lucru facilitează utilizarea calculului pentru a manipula formulele de dobândă.

Pentru orice funcție de acumulare continuu diferențiată a (t), forța de interes sau, în general, returnarea logaritmică sau compusă continuu este o funcție a timpului definită ca urmează:

δ t = a ′ (t) a (t) = ddt ln ⁡ a (t) {\ displaystyle \ delta _ {t} = {\ frac {a „(t)} {a (t )}} = {\ frac {d} {dt}} \ ln a (t)}

Acesta este derivatul logaritmic al funcției de acumulare.

În schimb:

a (t ) = e ∫ 0 t δ sds, {\ displaystyle a (t) = e ^ {\ int _ {0} ^ {t} \ delta _ {s} \, ds} \,} (din moment ce a (0) = 1 {\ displaystyle a (0) = 1}; aceasta poate fi privită ca un caz particular al unei integrale de produs).

Când formula de mai sus este scrisă în format de ecuație diferențială, atunci forța de interes este pur și simplu coeficientul de cantitatea modificării:

da (t) = δ ta (t) dt {\ displaystyle da (t) = \ delta _ {t} a (t) \, dt \,}

Pentru dobânzi compuse cu o rată a dobânzii anuală constantă r, forța dobânzii este constantă t, iar funcția de acumulare a dobânzii compuse în termeni de forță de interes este o putere simplă a lui e:

δ = ln ⁡ (1 + r) {\ displaystyle \ delta = \ ln (1 + r) \, } sau a (t) = et δ {\ displaystyle a (t) = e ^ {t \ delta} \,}

Forța dobânzii este mai mică decât rata anuală efectivă a dobânzii, dar mai mare decât reducerea efectivă anuală rată. Este reciprocul timpului de e-pliere. A se vedea, de asemenea, notarea ratelor dobânzii.

Baza de compunere Editați

Pentru a converti o rată a dobânzii de la o bază de compunere la o altă bază de compunere, utilizați

r 2 = n 2, {\ displaystyle r_ {2} = \ left {n_ {2}},}

unde1 este rata dobânzii cu frecvența de compunere n1 și andr2 este rata dobânzii cu frecvența de compunere n2.

Când dobânda este continuu compusă, utilizați

δ = n ln ⁡ (1 + rn), {\ displaystyle \ delta = n \ ln {\ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ dreapta)},}

unde δ {\ displaystyle \ delta} este rata dobânzii pe bază de compunere continuă și andr este rata dobânzii declarată cu o frecvență de compunere n.

Împrumut sau credit ipotecar lunar paymentEdit

Dobânzile la împrumuturi și credite ipotecare care sunt amortizate – adică au o plată lunară uniformă până la achitarea împrumutului – sunt adesea compuse lunar. Formula pentru plăți se găsește din următorul argument.

Formula exactă pentru plata lunarăEdit

O formulă exactă pentru plata lunară (c {\ displaystyle c}) este

c = P r 1 – 1 (1 + r) n {\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1 – {\ frac {1} {(1 + r) ^ {n}}}}}}

sau echivalent

c = P r 1 – e – n ln ⁡ (1 + r) {\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1-e ^ {- n \ ln (1 + r)} }}}

unde:

c {\ displaystyle c} = plata lunară P {\ displaystyle P} = principal r {\ displaystyle r} = rata lunară a dobânzii n {\ displaystyle n} = numărul de perioade de plată

Acest lucru poate fi obținut luând în considerare cât rămâne de rambursat după fiecare lună.
Principalul rămas după prima lună este

P 1 = (1 + r) P – c, {\ displaystyle P_ {1} = (1 + r) Pc,}

adică suma inițială plus dobânda mai puțin plata.
Dacă întregul împrumut este rambursat după o lună, atunci

P 1 = 0 {\ displaystyle P_ {1} = 0}, deci P = c 1 + r {\ displaystyle P = {\ frac {c} {1 + r}}}

După a doua lună P 2 = (1 + r) P 1 – c {\ displaystyle P_ {2} = (1 + r) P_ {1} -c} a rămas, deci

P 2 = (1 + r) ((1 + r) P – c) – c {\ displaystyle P_ {2} = (1 + r) ((1 + r) Pc) -c}

Dacă întregul împrumut a fost rambursat după două luni,

P 2 = 0 {\ displaystyle P_ {2} = 0}, deci P = c 1 + r + c (1 + r) 2 {\ displaystyle P = {\ frac {c} {1 + r}} + {\ frac {c} {(1 + r) ^ {2}}}} P = cr (1 – 1 (1 + r) n) {\ displaystyle P = {\ frac {c} {r}} \ left (1 – {\ frac {1} {(1 + r) ^ {n}}} \ right)}

care poate fi rearanjat pentru a da

c = P r 1 – 1 (1 + r) n = P r 1 – e – n ln ⁡ (1 + r) {\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1 – {\ frac {1} { (1 + r) ^ {n}}}}} = {\ frac {Pr} {1-e ^ {- n \ ln (1 + r)}}}} Formula foii de calcul

În foile de calcul, PMT ( ) este utilizată funcția. Sintaxa este:

PMT (rate_interes, number_payments, present_value, future_value,)

Consultați Excel, Mac Numbers, LibreOffice, Open Office, Foi de calcul Google pentru mai multe detalii.

De exemplu, pentru rata dobânzii de 6% (0,06 / 12), 25 de ani * 12 pa, PV de 150.000 USD, FV de 0, tipul de 0 dă:

= PMT (0.06 / 12, 25 * 12, -150000, 0, 0) = 966,45 $

Formula aproximativă pentru plata lunarăEdit

c ≈ P r 1 – e – nr = P nnr 1 – e – nr {\ displaystyle c \ approx {\ frac {Pr} {1-e ^ {-nr}}} = {\ frac {P} {n}} {\ frac {nr} {1-e ^ {- nr}}}}

ceea ce sugerează definirea variabilelor auxiliare

Y ≡ nr = IT {\ displaystyle Y \ equiv nr = IT} c 0 ≡ P n {\ displaystyle c_ {0} \ equiv {\ frac {P} {n}}}.

Aici c 0 {\ displaystyle c_ {0}} este plata lunară necesară pentru un împrumut cu dobândă zero plătit în rate n {\ displaystyle n}. În ceea ce privește aceste variabile, aproximarea poate fi scrisă

c ≈ c 0 Y 1 – e – Y, {\ displaystyle c \ approx c_ {0} {\ frac {Y} {1-e ^ {- Y}} },}

Funcția f (Y) ≡ Y 1 – e – Y – Y 2 {\ displaystyle f (Y) \ equiv {\ frac {Y} {1-e ^ {- Y}}} – { \ frac {Y} {2}}} este egal:

f (Y) = f (- Y) {\ displaystyle f (Y) = f (-Y)}

ceea ce înseamnă că poate fi extins în puteri egale ale lui Y {\ displaystyle Y}.

Se va dovedi convenabil atunci să se definească

X = 1 2 Y = 1 2 IT {\ displaystyle X = {\ frac {1} { 2}} Y = {\ frac {1} {2}} IT}

astfel încât

c ≈ c 0 2 X 1 – e – 2 X {\ displaystyle c \ approx c_ {0} {\ frac {2X} {1-e ^ {- 2X}}}}

care poate fi extins:

c ≈ c 0 (1 + X + X 2 3 – 1 45 X 4 +…) {\ displaystyle c \ approx c_ {0} \ left (1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {3}} – {\ frac {1} {45}} X ^ {4} + … \ right)}

unde elipsele indică termeni de ordin superior în puteri egale ale lui X {\ displaystyle X}. Extinderea

P ≈ P 0 (1 + X + X 2 3) {\ displaystyle P \ approx P_ {0} \ left (1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {3}} \ dreapta)}

este valabil cu mai mult de 1%, cu condiția ca X ≤ 1 {\ displaystyle X \ leq 1}.

Exemplu de plată ipotecă Editați

Pentru o ipotecă de 10.000 USD un termen de 30 de ani și o rată de notă de 4,5%, plătibilă anual, găsim:

T = 30 {\ displaystyle T = 30} I = 0.045 {\ displaystyle I = 0,045}

ceea ce oferă

X = 1 2 IT = .675 {\ displaystyle X = {\ frac {1} {2}} IT = .675}

astfel încât

P ≈ P 0 (1 + X + 1 3 X 2) = 333,33 $ (1 + .675 + .675 2/3) = 608,96 $ {\ displaystyle P \ approx P_ {0} \ left (1 + X + {\ frac {1} {3}} X ^ {2} \ right) = \ 333,33 $ (1 + .675 + .675 ^ {2} / 3) = \ 608,96}

Investiție: depozite lunareEdit

Având în vedere un depozit principal (inițial) și un depozit recurent, randamentul total al unei investiții poate fi calculat prin dobânda compusă câștigată pe unitate de timp. Dacă este necesar, dobânda pentru depozite suplimentare nerecurente și recurente poate fi de asemenea definită în cadrul aceleiași formule (a se vedea mai jos).

P {\ displaystyle P} = Depozit principal r {\ displaystyle r} = Rata de rentabilitate lunar) M {\ displaystyle M} = Depunere lunară, și t {\ displaystyle t} = Timp, în luni M (1 + r) t – 1 r + P (1 + r) t {\ displaystyle M {\ frac { (1 + r) ^ {t} -1} {r}} + P (1 + r) ^ {t}}

Dacă apar două sau mai multe tipuri de depozite (fie recurente, fie recurente), compusul dobânda câștigată poate fi reprezentată ca

M (r + 1) t – 1 r + P (r + 1) t + k (r + 1) t – x – 1 r + C (r + 1) t – y {\ displaystyle M {\ frac {(r + 1) ^ {t} -1} {r}} + P (r + 1) ^ {t} + k {\ frac {(r + 1) ^ {tx } -1} {r}} + C (r + 1) ^ {ty}} unde C și k sunt depozite nerecurente și recurente, respectiv x și y sunt diferențele de timp dintre un nou depozit și oricare dintre variabile t {\ displaystyle t} modelează.