Distribuția exponențială este una dintre distribuțiile continue utilizate pe scară largă. Este adesea folosit pentru a modela timpul scurs între evenimente. Vom defini matematic distribuția exponențială și vom deduce valoarea medie și așteptată. Apoi vom dezvolta intuiția pentru distribuție și vom discuta despre câteva proprietăți interesante pe care le are.

Figura 4.5 arată PDF-ul distribuției exponențiale pentru mai multe valori de $ \ lambda $.

Let $ X \ sim Exponential (\ lambda) $. Putem găsi valoarea ei așteptată după cum urmează, utilizând integrarea pe părți:

Acum să găsim Var $ (X) $. Avem

Astfel, obținem $$ \ textrm {Var} (X) = EX ^ 2- (EX) ^ 2 = \ frac {2} {\ lambda ^ 2} – \ frac {1} {\ lambda ^ 2} = \ frac { 1} {\ lambda ^ 2}. $$

O proprietate interesantă a distribuției exponențiale este că poate fi văzută ca un analog continuu Pentru a vedea acest lucru, amintiți-vă experimentul aleatoriu din spatele distribuției geometrice: aruncați o monedă (repetați un experiment Bernoulli) până când observați primele capete (succes). Acum, să presupunem că aruncarea monedei este $ \ Delta $ secunde distanță și în fiecare aruncare probabilitatea de succes este $ p = \ Delta \ lambda $. Să presupunem, de asemenea, că $ \ Delta $ este foarte mică, astfel încât aruncările de monede sunt foarte apropiate în timp și probabilitatea de succes în fiecare proces este foarte scăzut. Să fie $ X $ momentul în care observi bradul st succes. Vom arăta în secțiunea Probleme rezolvate că distribuția de $ X $ converge la $ Exponențial (\ lambda) $ pe măsură ce $ \ Delta $ se apropie de zero.

Pentru a obține o anumită intuiție pentru această interpretare a distribuției exponențiale , să presupunem că aștepți să se întâmple un eveniment. De exemplu, sunteți la un magazin și așteptați următorul client. În fiecare milisecundă, probabilitatea ca un client nou să intre în magazin este foarte mică. Vă puteți imagina că, în fiecare milisecundă, se aruncă o monedă (cu un foarte mic $ P (H) $) și, dacă aterizează, intră noi clienți. Dacă aruncați o monedă la fiecare milisecundă, timpul până la sosirea unui nou client urmează aproximativ o distribuție exponențială.

Interpretarea exponențială de mai sus este utilă pentru a înțelege mai bine proprietățile distribuției exponențiale. Cea mai importantă dintre aceste proprietăți este că distribuția exponențială este lipsită de memorie. Pentru a vedea acest lucru, gândiți-vă la o variabilă exponențială aleatorie în sensul de a arunca o mulțime de monede până la observarea primelor capete. Dacă aruncăm moneda de mai multe ori și nu observăm capetele, de acum încolo este ca și cum am începe din nou. Cu alte cuvinte, aruncările de monede eșuate nu au impact asupra distribuției timpului de așteptare de acum înainte. Motivul pentru aceasta este că aruncările de monede sunt independente. Putem afirma acest lucru formal după cum urmează: $$ P (X > x + a | X > a) = P (X > x). $$

Din punctul de vedere al timpului de așteptare până la sosirea unui client, proprietatea fără memorie înseamnă că nu contează cât ați așteptat până acum. Dacă nu ați observat un client până la ora $ a $, distribuirea timpului de așteptare (de la ora $ a $) până la următorul client este aceeași ca atunci când ați început la ora zero. Să dovedim proprietatea fără memorie a distribuției exponențiale. \ Begin {align}% \ label {} \ nonumber P (X > x + a | X > a) & = \ frac {P \ big (X > x + a, X > a \ big)} {P (X > a)} \\ \ nonumber & = \ frac {P (X > x + a)} {P (X > a)} \\ \ nonumber & = \ frac {1-F_X (x + a)} {1-F_X (a)} \\ \ nonumber & = \ frac {e ^ { – \ lambda (x + a)}} {e ^ {- \ lambda a}} \\ \ nonumber & = e ^ {- \ lambda x} \\ \ nonumber & = P (X > x). \\ \ end {align}