Arhimede

Lucrările sale

Există nouă tratate existente ale lui Arhimede în greacă. Principalele rezultate din Sfera și cilindrul (în două cărți) sunt că aria suprafeței oricărei sfere de rază r este de patru ori mai mare decât cea a cercului său cel mai mare (în notația modernă, S = 4πr2) și că volumul unei sfere este două treimi din cea a cilindrului în care este înscris (conducând imediat la formula pentru volum, V = 4 / 3πr3). Arhimede a fost suficient de mândru de această ultimă descoperire pentru a lăsa instrucțiuni ca mormântul său să fie marcat cu o sferă înscrisă într-un cilindru. Marcus Tullius Cicero (106–43 î.e.n.) a găsit mormântul, acoperit de vegetație, la un secol și jumătate după moartea lui Arhimede.

Măsurarea cercului este un fragment al unei lucrări mai lungi în care π (pi), raportul dintre circumferința și diametrul unui cerc, se arată între limitele 3 10/71 și 3 1/7. Abordarea lui Arhimede de a determina π, care constă în înscrierea și circumscrierea poligoanelor regulate cu un număr mare de laturi, a fost urmată de toată lumea până la dezvoltarea unor infinite expansiuni de serie în India în secolul al XV-lea și în Europa în secolul al XVII-lea. Această lucrare conține, de asemenea, aproximări exacte (exprimate ca rapoarte de numere întregi) la rădăcinile pătrate a 3 și mai multe numere mari.

La conoizi și sferoizi se ocupă cu determinarea volumelor segmentelor de solide formate prin revoluția o secțiune conică (cerc, elipsă, parabolă sau hiperbolă) în jurul axei sale. În termeni moderni, acestea sunt probleme de integrare. (Vezi calculul.) Pe spirale dezvoltă multe proprietăți ale tangențelor și zonelor asociate cu spirala lui Arhimede – adică, locusul unui punct care se deplasează cu viteză uniformă de-a lungul unei linii drepte care se învârte cu viteză uniformă în jurul unui punct fix. . A fost una dintre puținele curbe dincolo de linia dreaptă și secțiunile conice cunoscute în antichitate.

Despre echilibrul avioanelor (sau centrele de gravitate a avioanelor; în două cărți) se ocupă în principal de stabilirea centre de greutate ale diferitelor figuri și segmente ale planului rectiliniu ale parabolei și paraboloidului. Prima carte intenționează să stabilească „legea pârghiei” (mărimile se echilibrează la distanțe de la punctul de sprijin în raport invers cu greutățile lor) și în principal pe baza acestui tratat, Arhimede a fost numit fondatorul mecanicii teoretice. O mare parte din această carte, cu toate acestea, nu este, fără îndoială, autentică, constând, așa cum se întâmplă, în adăugiri inepte sau reelaborări ulterioare și pare probabil că principiul de bază al legii pârghiei și – posibil – conceptul de centru de greutate au fost stabilite pe o bază matematică de către erudiți mai devreme decât Arhimede. Contribuția sa a fost mai degrabă să extindă aceste concepte la secțiuni conice.

Cadratura Parabolei demonstrează, mai întâi prin mijloace „mecanice” (ca în Metoda, discutată mai jos) și apoi prin metode geometrice convenționale, că aria oricărui segment al unei parabole este de 4/3 din aria triunghiului având aceeași bază și înălțime ca acel segment. Aceasta este, din nou, o problemă în integrare.

Sand-Reckoner este un mic tratat care este un joc desprit scris pentru profan – se adresează lui Gelon, fiul lui Hieron – care conține totuși unele matematici profund originale. Obiectivul său este de a remedia insuficiențele sistemului de notație numerică greacă, arătând cum să se exprime un număr imens – numărul de granule de nisip pe care le-ar lua pentru a umple întregul univers. Ceea ce face Arhimede, de fapt, este să creeze un sistem de notație cu valoare de loc, cu o bază de 100.000.000. (Aceasta a fost, aparent, o idee complet originală, deoarece nu avea cunoștințe despre sistemul de valori-valoare babilonian contemporan cu baza 60.) Lucrarea prezintă, de asemenea, un interes, deoarece oferă cea mai detaliată descriere a sistemului heliocentric al lui Aristarh din Samos. c. 310–230 î.e.n.) și deoarece conține o relatare a unei proceduri ingenioase pe care Arhimede a folosit-o pentru a determina diametrul aparent al Soarelui prin observarea cu un instrument.

Metoda privind teoremele mecanice descrie un proces de descoperire în matematică . Este singura lucrare care a supraviețuit din antichitate și una dintre puținele din orice perioadă, care se ocupă de acest subiect.În acesta, Arhimede povestește cum a folosit o metodă „mecanică” pentru a ajunge la unele dintre descoperirile sale cheie, inclusiv zona unui segment parabolic și suprafața și volumul unei sfere. Tehnica constă în împărțirea fiecăreia dintre două figuri într-un infinit. dar un număr egal de benzi infinitezimale subțiri, apoi „cântărind” fiecare pereche corespunzătoare a acestor benzi una față de cealaltă pe o balanță noțională pentru a obține raportul celor două figuri originale. Arhimede subliniază că, deși utilă ca metodă euristică, această procedură nu constituie o dovadă riguroasă.

Pe corpurile plutitoare (în două cărți) supraviețuiește doar parțial în greacă, restul în traducerea latină medievală din greacă . Este prima lucrare cunoscută despre hidrostatice, dintre care Arhimede este recunoscut ca fondator. Scopul său este de a determina pozițiile pe care diverse solide le vor asuma atunci când plutesc într-un fluid, în funcție de forma lor și de variația greutății lor specifice. În prima carte sunt stabilite diferite principii generale, în special ceea ce a devenit cunoscut sub numele de principiul lui Arhimede: un solid mai dens decât un fluid va fi, atunci când este scufundat în acel fluid, mai ușor de greutatea fluidului pe care îl deplasează. A doua carte este un tur de forță matematic de neegalat în antichitate și rar egalat de atunci. În acesta, Arhimede determină diferitele poziții de stabilitate pe care un paraboloid drept de revoluție le asumă atunci când plutesc într-un fluid cu o greutate specifică mai mare, conform variațiilor geometrice și hidrostatice.

Arhimede este cunoscut, din referințele autorilor ulteriori, să fi scris o serie de alte opere care nu au supraviețuit. Un interes deosebit sunt tratatele de catoptrie, în care a discutat, printre altele, despre fenomenul refracției; pe cele 13 poliedre semiregulare (arhimediene) (acele corpuri delimitate de poligoane regulate, nu neapărat toate de același tip, care pot fi înscrise într-o sferă); și „Problema bovinelor” (păstrată într-o epigramă greacă), care pune o problemă într-o analiză nedeterminată, cu opt necunoscute. Pe lângă acestea, există și câteva lucrări în traducere arabă atribuite lui Arhimede care nu au putut fi compuse de el în forma actuală, deși pot conține elemente „arhimediene”. Acestea includ o lucrare privind înscrierea heptagonului obișnuit într-un cerc; o colecție de leme (propoziții presupuse a fi adevărate care sunt folosite pentru a dovedi o teoremă) și o carte, Despre cercurile atingătoare, ambele având legătură cu geometria planului elementar; și Stomachion (ale cărui părți supraviețuiesc și în greacă), care se ocupă cu un pătrat împărțit în 14 piese pentru un joc sau puzzle.

Dovezile matematice și prezentarea lui Arhimede prezintă o mare îndrăzneală și originalitate a gândirii pe una mâna și rigoarea extremă pe de altă parte, îndeplinind cele mai înalte standarde ale geometriei contemporane. În timp ce Metoda arată că a ajuns la formulele pentru suprafața și volumul unei sfere prin raționament „mecanic” care implică infinitesimale, în dovezile sale reale ale rezultatelor în Sferă și Cilindru el folosește doar metodele riguroase de aproximare finită succesivă care au avut a fost inventat de Eudoxus din Cnidus în secolul al IV-lea î.Hr. Aceste metode, ale căror arhimede a fost maestru, sunt procedura standard în toate lucrările sale de geometrie superioară care se ocupă cu demonstrarea rezultatelor despre arii și volume. Rigoarea lor matematică este în contrast puternic. la „dovezile” primilor practicanți ai calculului integral în secolul al XVII-lea, când infinitesimalele au fost reintroduse în matematică. Cu toate acestea, rezultatele lui Arhimede nu sunt mai puțin impresionante decât ale lor. Aceeași libertate față de modurile de gândire convenționale este evidentă în câmpul aritmetic din Sand-Reckoner, care arată o înțelegere profundă a naturii sistemului numeric.

În antichitate, Arhimede era cunoscut și ca un astronom remarcabil: observațiile sale despre solstiții au fost folosite de Hipparchus (înflorit în jurul anului 140 î.Hr.), cel mai important astronom antic. Se știe foarte puțin despre această latură a activității lui Arhimede, deși Sand-Reckoner dezvăluie interesul său astronomic și abilitatea practică de observație. Cu toate acestea, a fost predat un set de numere atribuite acestuia, oferind distanțele diferitelor corpuri cerești față de Pământ, care sa dovedit a fi bazat nu pe date astronomice observate, ci pe o teorie „pitagorică” care asociază intervalele spațiale dintre planetele cu intervale muzicale. Deși este surprinzător să găsim acele speculații metafizice în lucrarea unui astronom practicant, există motive întemeiate să credem că atribuirea lor lui Arhimede este corectă.