指数分布は、広く使用されている連続分布の1つです。これは、イベント間の経過時間をモデル化するためによく使用されます。ここで、指数分布を数学的に定義し、その平均値と期待値を導き出します。次に、分布の直感を開発し、それが持ついくつかの興味深いプロパティについて説明します。

図4.5は、$ \ lambda $のいくつかの値の指数分布のPDFを示しています。

Let $ X \ sim指数（\ lambda）$。部分積分を使用して、次のように期待値を見つけることができます。

ここで、Var $（X）$を見つけましょう。

したがって、 $$ \ textrm {Var}（X）= EX ^ 2-（EX）^ 2 = \ frac {2} {\ lambda ^ 2}-\ frac {1} {\ lambda ^ 2} = \ frac {を取得します1} {\ lambda ^ 2}。$$

指数分布の興味深い特性は、連続アナログと見なすことができることです。これを確認するには、幾何分布の背後にあるランダムな実験を思い出してください。最初の頭が観察されるまでコインを投げます（ベルヌーイ実験を繰り返します）（成功）。ここで、コインの投げが$ \ Delta $であるとします。秒間隔で、各トスでの成功の確率は$ p = \ Delta \ lambda $です。また、$ \ Delta $が非常に小さいため、コインのトスは時間的に非常に近く、各試行での成功の確率は次のようになります。非常に低いです。モミを観察する時間は$ X $とします。最初の成功。解決済みの問題のセクションで、$ \ Delta $がゼロに近づくと$ X $の分布が$ Exponential（\ lambda）$に収束することを示します。

指数分布のこの解釈についての直感を得るには、イベントが発生するのを待っているとします。たとえば、あなたは店にいて、次の顧客を待っています。ミリ秒ごとに、新しい顧客が店に入る確率は非常に小さいです。ミリ秒ごとに、コイン（$ P（H）$が非常に小さい）が投げられ、それが着地すると、新しい顧客が入ると想像できます。ミリ秒ごとにコインを投げる場合、新しい顧客が到着するまでの時間は、ほぼ指数分布に従います。

上記の指数の解釈は、指数分布の特性をよりよく理解するのに役立ちます。これらのプロパティの中で最も重要なのは、指数分布がメモリレスであることです。これを確認するには、最初の頭を観察するまでたくさんのコインを投げるという意味で、指数確率変数を考えてみてください。コインを数回投げて頭を観察しないと、これからは最初からやり直すようなものになります。言い換えれば、失敗したコイントスは、今後の待機時間の分布に影響を与えません。これは、コイントスが独立しているためです。これは次のように正式に述べることができます：$$ P（X > x + a | X > a）= P（X > x）。$$

顧客が到着するまでの待機時間の観点から、メモリレスプロパティは、どれだけ待機したかは関係ないことを意味します。これまでのところ。時間$ a $まで顧客を観察しなかった場合、次の顧客までの待機時間（時間$ a $から）の分布は、時間ゼロで開始したときと同じです。指数分布のメモリレスプロパティを証明しましょう。\ begin {align}％\ label {} \ nonumber P（X > x + a | X > a）& = \ frac {P \ big（X > x + a、X > a \ big）} {P（X > a）} \\ \ nonumber & = \ frac {P（X > x + a）} {P（X > a）} \\ \ nonumber & = \ frac {1-F_X（x + a）} {1-F_X（a）} \\ \ nonumber & = \ frac {e ^ { -\ lambda（x + a）}} {e ^ {-\ lambda a}} \\ \ nonumber & = e ^ {-\ lambda x} \\ \ nonumber & = P（X > x）。\\ \ end {align}