アルキメデス

彼の作品

ギリシャ語でアルキメデスによる9つの現存する論文があります。 On the Sphere and Cylinder（2冊の本）の主な結果は、半径rの球の表面積が最大の円の表面積の4倍（現代の表記ではS =4πr2）であり、球の体積がそれが刻まれているシリンダーの3分の2（体積の式にすぐにつながる、V = 4 /3πr3）。アルキメデスは後者の発見を十分に誇りに思っており、彼の墓に円柱に内接球を刻印するよう指示を残しました。マーカストゥリウスシセロ（紀元前106〜43年）は、アルキメデスの死から1世紀半後、植物が生い茂った墓を発見しました。

円周率の測定は、πが含まれる長い作業の断片です。 （pi）は、円の直径に対する円周の比率であり、310/71と31/7の制限の間にあることが示されています。多数の辺を持つ正多角形を内接および外接することで構成されるアルキメデスのπを決定するアプローチは、15世紀にインドで、17世紀にヨーロッパで無限級数展開が開発されるまで、誰もが従いました。この作業には、3の平方根といくつかの大きな数の正確な近似（整数の比率として表される）も含まれています。

円錐曲線とスフェロイドについては、の回転によって形成される固体のセグメントの体積を決定します。その軸の周りの円錐曲線（円、楕円、放物線、または双曲線）。現代の用語では、それらは統合の問題です。 （微積分を参照。）螺旋については、アルキメデスの螺旋に接する接線とそれに関連する領域の多くの特性を発達させます。つまり、一定の点を中心に一定の速度で回転する直線に沿って一定の速度で移動する点の軌跡です。 。これは、直線と古代で知られている円錐曲線を超えた数少ない曲線の1つでした。

平面の平衡（または平面の重力の中心; 2冊の本）では、主に平面の確立に関係しています。さまざまな直線平面図および放物線と放物面のセグメントの重心。最初の本は「てこの法則」（支点からの距離で重量に反比例して大きさが釣り合う）を確立することを目的としており、アルキメデスが理論力学の創設者と呼ばれているのは主にその論文に基づいています。しかし、その本の多くは間違いなく本物ではなく、後の不適切な追加や手直しで構成されており、レバーの法則の基本原則と、おそらくは重心の概念が確立された可能性がありますアルキメデスより前の学者による数学的な根拠。彼の貢献は、むしろそれらの概念を円錐形のセクションに拡張することでした。

パラボラの四分円は、最初に「機械的」手段（以下で説明する方法のように）と次に、従来の幾何学的方法により、パラボラの任意のセグメントの面積は、そのセグメントと同じ底辺と高さを持つ三角形の面積の4/3になります。つまり、やはり統合の問題です。

Sand-Reckonerは、素人のために書かれた小さな論文であり、Hieronの息子であるGelonに宛てられていますが、いくつかの非常に独創的な数学。その目的は、巨大な数、つまり宇宙全体を埋めるのに必要な砂の粒の数を表現する方法を示すことによって、ギリシャの数値表記システムの不十分さを改善することです。アルキメデスが実際に行うことは、1億をベースとする場所と値の表記システムを作成することです。 （彼はベース60の現代のバビロニアの場所価値システムの知識を持っていなかったので、それは明らかに完全に独創的なアイデアでした。）サモスのアリスタルコスのヘリオセントリックシステムの最も詳細な生き残った説明を与えるので、この作品も興味深いです（ c。310–230 bce）であり、アルキメデスが機器での観察によって太陽の見かけの直径を決定するために使用した独創的な手順の説明が含まれているためです。

機械理論に関する方法は、数学における発見のプロセスを説明しています。 。このトピックを扱っているのは、古代から生き残った唯一の作品であり、どの時代からも数少ない作品の1つです。その中で、アルキメデスは、放物線セグメントの面積や球の表面積と体積など、彼の重要な発見のいくつかに到達するために「機械的」方法をどのように使用したかを語っています。この手法は、2つの図のそれぞれを無限に分割することで構成されていますしかし、同数の非常に薄いストリップを、これらのストリップの対応する各ペアを概念的なバランスで互いに「計量」して、2つの元の数値の比率を取得します。アルキメデスは、ヒューリスティックな方法としては有用ですが、この手順は厳密な証明にはならないことを強調しています。

フローティングボディ（2冊）については、ギリシャ語で部分的にしか存続せず、残りはギリシャ語からの中世ラテン語の翻訳で存続します。 。これは静水圧に関する最初の既知の研究であり、アルキメデスが創設者として認められています。その目的は、さまざまな固体が流体に浮かんでいるときに、その形状と比重の変化に応じてとる位置を決定することです。最初の本では、さまざまな一般原則が確立されています。特に、アルキメデスの原理として知られるようになったものです。流体よりも密度の高い固体は、その流体に浸されると、移動する流体の重量によって軽くなります。 2冊目の本は、古代では比類のない数学的ツアー・デ・フォースであり、それ以来、ほとんど同等ではありません。その中で、アルキメデスは、幾何学的および静水圧の変化に従って、より大きな比重の流体に浮かんでいるときに回転の右放物面がとるさまざまな安定位置を決定します。

アルキメデスは、後の著者の参考文献から知られています。生き残っていない他の多くの作品を書いたこと。特に興味深いのは、反射光学に関する論文であり、彼は、とりわけ、屈折の現象について論じました。 13の半正多面体（半正多面体）（球に内接できる、必ずしもすべてが同じタイプである必要はない、正多角形で囲まれた物体）。そして、不確定な分析で問題を提起する「牛の問題」（ギリシャ語のエピグラムに保存されている）は、8つの未知数があります。それらに加えて、アルキメデスに起因するアラビア語訳のいくつかの作品が残っています。現在の形式ですが、「アルキメデス」の要素が含まれている場合があります。それらには、正七角形を円に刻む作業が含まれます。補題の書（定理を証明するために使用される、真であると想定される命題）と本、On Touching Circlesは、どちらも基本平面幾何学に関係しています。ストマチオン（一部はギリシャ語でも存続）は、ゲームやパズルのために14個に分割された正方形を扱います。

アルキメデスの数学的証明と表現は、その1つに大きな大胆さと独創性を示しています。手と極端な厳格さは、現代の幾何学の最高水準を満たしています。この方法は、彼が無限小を含む「機械的」推論によって球の表面積と体積の公式に到達したことを示していますが、球と円筒についての結果の実際の証明では、次のような厳密な連続有限近似の方法のみを使用しています。紀元前4世紀にエウドクソスによって発明されました。アルキメデスがマスターであったこれらの方法は、面積と体積に関する結果の証明を扱う、より高い幾何学に関する彼のすべての作品の標準的な手順です。それらの数学的な厳密さは、非常に対照的です。無限小が数学に再導入された17世紀の積分計算の最初の実践者の「証明」に。それでも、アルキメデスの結果は彼らの結果と同じくらい印象的です。従来の考え方からの同じ自由は、砂粒を数えるものの算術分野でも明らかであり、数値システムの性質を深く理解していることを示しています。

古代では、アルキメデスは優れた天文学者としても知られていました。彼の至点の観測は、最も古代の天文学者であるヒッパルコス（紀元前140年頃に栄えた）によって使用されました。アルキメデスの活動のこちら側についてはほとんど知られていませんが、サンドレコナーは彼の鋭い天文学的な関心と実際的な観測能力を明らかにしています。しかし、地球からのさまざまな天体の距離を示す彼に起因する一連の数値が伝えられています。これは、観測された天体データではなく、間の空間間隔を関連付ける「ピタゴリアン」理論に基づいていることが示されています。音程のある惑星。練習中の天文学者の研究でこれらの形而上学的な推測を見つけることは驚くべきことですが、アルキメデスへの帰属が正しいと信じるのには十分な理由があります。