複利

定期的な複利編集

P = P（1 + rn）nt {\ displaystyle P “= P \ left（1 + {\ frac {r} {n}} \ right）^ {nt}}

ここで、

Pは元の主な合計P”は新しい主な合計rは名目年利nは複利頻度tは利息が適用される全体の長さです（rと同じ時間単位、通常は年を使用して表されます）。

生成される複利の合計は、最終値から初期元本を引いたものです。

I = P（1 + rn）nt − P {\ displaystyle I = P \ left（1+ {\ frac {r} { n}} \ right）^ {nt} -P}

例1編集

P = 1500×（1 + 0.043 4）4×6≈1938.84{\ displaystyle P “= 1 \、500 \ times \ left（1 + {\ frac {0.043} {4}} \ right）^ {4 \ times 6} \ upperx 1 \、938.84}

したがって、新しいプリンシパルP ′{\ displaystyle P “} 6年間は約$ 1,938.84です。

この金額から元の元本を引くと、受け取った利息の金額が得られます。

1 938.84 − 1 500 = 438.84 {\ displaystyle 1 \、938.84-1 \、500 = 438.84}

例2編集

P = 1500×（1 +（0.043×2））62≈1921.24{\ displaystyle P “= 1 \、500 \ times \ left（1+（ 0.043 \ times 2）\ right）^ {\ frac {6} {2}} \ upperx 1 \、921.24}

つまり、6年後の残高は約$ 1,921.24です。

受け取った利息は、この金額から元本を引くことで計算できます。

1 921.24 − 1 500 = 421.24 {\ displaystyle 1 \、921.24-1 \、500 = 421 .24}

複利の頻度が低いため、前のケースに比べて利息が少なくなります。

累積関数編集

主Pは単なる係数であるため、簡単にするために削除されることが多く、代わりに結果の累積関数が使用されます。累積関数は、任意の時間の後に$ 1がどのように成長するかを示します。

単利および複利の累積関数は

a（t）= 1 + rt {\ displaystyle a（t）= 1です。 + rt \、} a（t）=（1 + rn）nt {\ displaystyle a（t）= \ left（1 + {\ frac {r} {n}} \ right）^ {nt}}

nt = 1 {\ displaystyle nt = 1}の場合、これら2つの関数は同じです。

連続複利編集

As n 、1年あたりの複利計算期間の数は無制限に増加します。この場合は、連続複利計算と呼ばれます。この場合、実効年利率はer -1の上限に近づきます。ここで、eは自然対数の基礎となる数学定数です。対数。

連続複利は、nが無限大になるときに限界をとることによって達成される、複利周期を非常に小さくすることと考えることができます。この制限の数学的証明については、指数関数の定義を参照してください。連続複利のt期間後の量は、初期量P0で表すことができます。

P（t）= P 0 e rt。 {\ displaystyle P（t）= P_ {0} e ^ {rt}。}

関心のある力編集

複利計算期間の数n {\ displaystyle n}が連続複利で無限大に達すると、連続複利は、利息の力δ{\ displaystyle \ delta}と呼ばれます。

数学では、累積関数は、自然対数の底であるeで表されることがよくあります。これにより、微積分を使用して関心式を操作することが容易になります。

連続的に微分可能な累積関数a（t）の場合、関心のある力、またはより一般的には対数または複利のリターンは、次のように定義される時間の関数です。

δt= a ′（t）a（t）=ddtln⁡a（t）{\ displaystyle \ delta _ {t} = {\ frac {a “（t）} {a（t ）}} = {\ frac {d} {dt}} \ ln a（t）}

これは累積関数の対数微分です。

逆に：

a（t ）=e∫0tδsds、{\ displaystyle a（t）= e ^ {\ int _ {0} ^ {t} \ delta _ {s} \、ds} \、}（a（0）= 1 {\ displaystyle a（0）= 1};これは乗法的積分の特定のケースと見なすことができます。）

上記の式が微分方程式形式で記述されている場合、対象となる力は単純に次の係数です。変化量：

da（t）=δta（t）dt {\ displaystyle da（t）= \ delta _ {t} a（t）\、dt \、}

複利の場合一定の年利r、利息の力は一定ですtであり、利息の力に関する複利の累積関数は、eの単純な累乗です。

δ=ln⁡（1 + r）{\ displaystyle \ delta = \ ln（1 + r）\、 }またはa（t）=etδ{\ displaystyle a（t）= e ^ {t \ delta} \、}

利息の力は、年間実効金利よりも小さいが、年間実効割引よりは大きい割合。これは、e-folding時間の逆数です。金利の表記も参照してください。

複利基準編集

ある複利基準から別の複利基準に金利を変換するには、

r2を使用します。 = n 2、{\ displaystyle r_ {2} = \ left {n_ {2}}、}

ここで、r1は複利周波数n1の金利、r2は複利周波数n2の金利です。

利息が継続的に複利になる場合は、

δ=nln⁡（1 + rn）、{\ displaystyle \ delta = n \ ln {\ left（1+ {\ frac {r} {n}} \右）}、}

ここで、δ{\ displaystyle \ delta}は連続複利ベースの利率であり、rは複利頻度nの記載された利率です。

毎月の償却ローンまたは住宅ローンPaymentsEdit

償却される（つまり、ローンが返済されるまでスムーズな毎月の支払いが行われる）ローンと住宅ローンの利息は、多くの場合、毎月複利計算されます。支払いの式は次の引数から求められます。

毎月の支払いの正確な式編集

毎月の支払いの正確な式（c {\ displaystyle c}）は

c = P r 1 − 1（1 + r）n {\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1-{\ frac {1} {（1 + r）^ {n}}}}}}

または同等に

c = P r 1 − e −nln⁡（1 + r）{\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1-e ^ {-n \ ln（1 + r）} }}}

ここで：

c {\ displaystyle c} =毎月の支払いP {\ displaystyle P} =元本r {\ displaystyle r} =毎月の利率n {\ displaystyle n} =支払い期間の数

これは、毎月の返済残高を考慮することで導き出すことができます。
最初の月の後に残っている元本は

P 1 =（1 + r）P − c、{\ displaystyle P_ {1} =（1 + r）Pc、}

つまり、初期金額と利息から支払いを差し引いた金額。
ローン全体が1か月後に返済される場合、

P 1 = 0 {\ displaystyle P_ {1} = 0}なので、P = c 1 + r {\ displaystyle P = {\ frac {c} {1 + r}}}

2か月目以降P2 =（1 + r）P 1 − c {\ displaystyle P_ {2} =（1 + r）P_ {1} -c}が残っているので、

P 2 =（1 + r）（（1 + r）P − c）− c {\ displaystyle P_ {2} =（1 + r）（（1 + r）Pc）-c}

ローン全体が2か月後に返済された場合、

P 2 = 0 {\ displaystyle P_ {2} = 0}なので、P = c 1 + r + c（1 + r）2 {\ displaystyle P = {\ frac {c} {1 + r}} + {\ frac {c} {（1 + r）^ {2}}}} P = cr（1 − 1（1 + r）n）{\ displaystyle P = {\ frac {c} {r}} \ left（1-{\ frac {1} {（1 + r）^ {n}}} \ right）}

再配置して与えることができる

c = P r 1 − 1（1 + r）n = P r 1 − e −nln⁡（1 + r）{\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1-{\ frac {1} { （1 + r）^ {n}}}}} = {\ frac {Pr} {1-e ^ {-n \ ln（1 + r）}}}}スプレッドシートの式

スプレッドシートでは、PMT（ ）関数が使用されます。構文は次のとおりです。

PMT（interest_rate、number_payments、present_value、future_value、）

詳細については、Excel、Mac Numbers、LibreOffice、Open Office、GoogleSheetsを参照してください。

たとえば、金利6％（0.06 / 12）、25年* 12 pa、PV $ 150,000、FV 0、タイプ0は次のようになります。

= PMT（0.06 / 12、25 * 12、-150000、0、 0）= $ 966.45

毎月の支払いのおおよその式編集

c≈Pr1− e − nr = P nnr 1 − e − nr {\ displaystyle c \ approx {\ frac {Pr} {1-e ^ {-nr}}} = {\ frac {P} {n}} {\ frac {nr} {1-e ^ {-nr}}}}

これは補助変数の定義を示唆します

Y≡nr = IT {\ displaystyle Y \ equiv nr = IT}c0≡Pn{\ displaystyle c_ {0} \ equiv {\ frac {P} {n}}}。

ここでc0 {\ displaystyle c_ {0}}は、n {\ displaystylen}の分割払いで返済される無利子ローンに必要な毎月の支払いです。これらの変数に関して、近似は次のように記述できます。

c≈c0Y1 − e − Y、{\ displaystyle c \ approx c_ {0} {\ frac {Y} {1-e ^ {-Y}} }、}

関数f（Y）≡Y1− e − Y − Y 2 {\ displaystyle f（Y）\ equiv {\ frac {Y} {1-e ^ {-Y}}}-{ \ frac {Y} {2}}}は偶数です：

f（Y）= f（− Y）{\ displaystyle f（Y）= f（-Y）}

展開できることを意味しますYの偶数乗{\ displaystyleY}。

定義すると便利です

X = 1 2 Y = 1 2 IT {\ displaystyle X = {\ frac {1} { 2}} Y = {\ frac {1} {2}} IT}

so that

c≈c02X 1 − e − 2 X {\ displaystyle c \ approx c_ {0} {\ frac {2X} {1-e ^ {-2X}}}}

展開可能：

c≈c0（1 + X + X 2 3 − 1 45 X 4 +。。。） {\ displaystyle c \ approx c_ {0} \ left（1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {3}}-{\ frac {1} {45}} X ^ {4} + .. .. \ right）}

ここで、楕円はX {\ displaystyleX}の偶数乗で高次の項を示します。展開

P≈P0（1 + X + X 2 3）{\ displaystyle P \ approx P_ {0} \ left（1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {3}} \右）}

は、X≤1{\ displaystyle X \ leq 1}の場合、1％を超えて有効です。

住宅ローンの支払い例編集

10,000ドルの住宅ローンの場合30年の期間と4.5％のノート率、毎年支払われる、私達は見つけます：

T = 30 {\ displaystyle T = 30} I = 0。045 {\ displaystyle I = 0.045}

これにより

X = 1 2 IT = .675 {\ displaystyle X = {\ frac {1} {2}} IT = .675}

P≈P0（1 + X + 1 3 X 2）= $ 333.33（1 + .675 + .675 2/3）= $ 608.96 {\ displaystyle P \ upper x P_ {0} \ left（1 + X + {\ frac {1} {3}} X ^ {2} \ right）= \ $ 333.33（1 + .675 + .675 ^ {2} / 3）= \ $ 608.96}

投資：毎月の預金編集

元本（初期）預金と定期預金が与えられた場合、投資の総収益は、単位時間あたりに得られる複利を介して計算できます。必要に応じて、追加の非定期預金と定期預金の利息も同じ式で定義できます（以下を参照）。

P {\ displaystyle P} =元本預金r {\ displaystyle r} =収益率（毎月）M {\ displaystyle M} =毎月の預金、t {\ displaystyle t} =時間、月単位M（1 + r）t − 1 r + P（1 + r）t {\ displaystyle M {\ frac { （1 + r）^ {t} -1} {r}} + P（1 + r）^ {t}}

2種類以上の預金が発生した場合（定期的または非定期的）、複利獲得した利息は次のように表すことができます

M（r + 1）t − 1 r + P（r + 1）t + k（r + 1）t − x − 1 r + C（r + 1）t − y {\ displaystyle M {\ frac {（r + 1）^ {t} -1} {r}} + P（r + 1）^ {t} + k {\ frac {（r + 1）^ {tx } -1} {r}} + C（r + 1）^ {ty}}ここで、Cとkはそれぞれ非定期預金と定期預金であり、xとyは新しい預金といずれかの変数との時間差です。 t {\ displaystylet}はモデリングです。