Concepts clés
Mathématiques
Probabilité
Statistiques
Introduction
Avez-vous Avez-vous déjà remarqué comment parfois ce qui semble logique se révèle faux avec un peu de maths? Par exemple, combien de personnes pensez-vous quil faudrait pour enquêter, en moyenne, pour trouver deux personnes qui partagent le même anniversaire? En raison de la probabilité, un événement est parfois plus susceptible de se produire que nous ne le pensons. Dans ce cas, si vous interrogez un groupe aléatoire de 23 personnes seulement, il y a en fait environ 50 à 50 chances que deux dentre elles aient le même anniversaire. Cest ce quon appelle le paradoxe de lanniversaire. Vous ne croyez pas que cest vrai? Vous pouvez le tester et voir la probabilité mathématique en action!
Contexte
Le paradoxe de lanniversaire, également connu sous le nom de problème danniversaire, indique que dans un groupe aléatoire de 23 personnes, il y a environ 50 pour cent de chances que deux personnes ont le même anniversaire. Est-ce vraiment vrai? Il y a plusieurs raisons pour lesquelles cela semble être un paradoxe. La première est que dans une pièce avec 22 autres personnes, si une personne compare son anniversaire avec les anniversaires des autres personnes, cela ne ferait que 22 comparaisons – seulement 22 chances pour les gens de partager le même anniversaire.
Mais lorsque les 23 anniversaires sont comparés les uns aux autres, cela donne beaucoup plus de 22 comparaisons. Combien en plus? Eh bien, la première personne a 22 comparaisons à faire, mais la deuxième personne a déjà été comparée à la première personne, il ny a donc que 21 comparaisons à faire. La troisième personne a alors 20 comparaisons, la quatrième personne en a 19 et ainsi de suite. Si vous additionnez toutes les comparaisons possibles (22 + 21 + 20 + 19 +… +1), la somme est de 253 comparaisons, ou combinaisons. Par conséquent, chaque groupe de 23 personnes implique 253 comparaisons, ou 253 chances danniversaires correspondants.
Matériel
• Groupes de 23 personnes ou plus (10 à 12 de ces groupes) ou une source avec des anniversaires aléatoires (voir Préparation ci-dessous pour conseils)
• Papier et stylo ou crayon
• Calculatrice (facultatif)
Préparation
• Collectez les anniversaires pour des groupes aléatoires de 23 personnes ou plus. Idéalement, vous devriez avoir 10 à 12 groupes de 23 personnes ou plus afin davoir suffisamment de groupes différents à comparer. (Vous n’avez pas besoin de l’année pour les anniversaires, mais uniquement du mois et du jour.)
• Conseil: voici quelques moyens de trouver un certain nombre de personnes regroupées au hasard: demandez aux enseignants de passer une liste autour de chaque de leurs classes pour recueillir les anniversaires des élèves de la classe (la plupart des écoles ont environ 25 élèves dans une classe); utiliser les anniversaires des joueurs des équipes de baseball des ligues majeures (cette information peut facilement être trouvée sur Internet); ou utiliser les anniversaires dautres personnes aléatoires utilisant des sources en ligne.
Procédure
• Pour chaque groupe de 23 anniversaires ou plus que vous avez collectés, triez-les pour voir sil y a des anniversaires dans chaque groupe.
• Combien de vos groupes ont deux personnes ou plus avec le même anniversaire? En vous basant sur le paradoxe de lanniversaire, combien de groupes vous attendez-vous à trouver qui ont deux personnes avec le même anniversaire? Le paradoxe de lanniversaire est-il vrai?
• Extra: Dans ce activité vous avez utilisé un groupe de 23 personnes ou plus, mais vous pouvez l’essayer en utilisant des groupes plus importants. utilisez un groupe de 366 personnes – le plus grand nombre de jours que peut avoir une année – les chances que deux personnes aient le même anniversaire sont de 100% (à lexclusion des anniversaires bissextiles du 29 février), mais que pensez-vous que les chances sont dans un groupe de 60 ou 75 personnes?
• Extra: lancer des dés est un excellent moyen détudier la probabilité. Vous pouvez essayer de lancer trois dés à 10 faces et cinq dés à six faces 100 fois chacun et enregistrer les résultats de chaque jet. Calculez la probabilité mathématique dobtenir une somme supérieure à 18 pour chaque combinaison de dés en les lançant 100 fois. (Ce site Web peut vous apprendre à calculer la probabilité: Probability Central dOracle ThinkQuest.) Quelle combinaison a une probabilité mathématique plus élevée, et était-ce vrai lorsque vous les avez obtenus?
Observations et résultats
A fait environ 50 pour cent de les groupes de 23 personnes ou plus comprennent au moins deux personnes ayant les mêmes anniversaires?
Lorsque vous comparez les probabilités avec les anniversaires, il peut être plus facile de regarder la probabilité que les gens ne partagent pas un anniversaire. Lanniversaire dune personne est lune des 365 possibilités (à lexception des anniversaires du 29 février). La probabilité quune personne nait pas le même anniversaire quune autre personne est de 364 divisée par 365, car 364 jours ne sont pas lanniversaire dune personne. . Cela signifie que deux personnes ont 364/365, ou 99,726027 pour cent, de chances de ne pas correspondre aux anniversaires.
Comme mentionné précédemment, dans un groupe de 23 personnes, il y a 253 comparaisons, ou combinaisons, qui peuvent être fait. Nous ne cherchons donc pas une seule comparaison, mais 253 comparaisons. Chacune des 253 combinaisons a les mêmes chances, 99,726027%, de ne pas correspondre. Si vous multipliez 99,726027% par 99.726027 253 fois, ou calculez (364/365) 253, vous trouverez quil ya 49,952 pour cent de chances que les 253 comparaisons ne contiennent aucune correspondance. Par conséquent, la probabilité quil y ait une correspondance danniversaire dans ces 253 comparaisons est de 1 à 49,952% = 50,048%, soit un peu plus de la moitié! Plus vous exécutez dessais, plus la probabilité réelle devrait approcher 50 pour cent.
Plus à explorer
« Comprendre le paradoxe de lanniversaire » de BetterExplained
« Probability Central » dOracle ThinkQuest
« Combinaisons et permutations » de MathIsFun
« Le paradoxe de lanniversaire » de Science Buddies
Cette activité vous est proposée en partenariat avec Science Buddies