Un parallélogramme peut être réorganisé en un rectangle avec la même aire.
Animation pour la formule daire K = bh {\ displaystyle K = bh}.
Toutes les formules daires pour les quadrilatères convexes généraux sappliquent aux parallélogrammes. Dautres formules sont spécifiques aux parallélogrammes:
Un parallélogramme de base b et de hauteur h peut être divisé en un trapèze et un triangle rectangle, et réorganisé en un rectangle, comme le montre la figure de gauche. Cela signifie que laire dun parallélogramme est la même que celle dun rectangle de même base et hauteur:
K = b h. {\ displaystyle K = bh.}
La zone du parallélogramme est la zone de la région bleue, qui est lintérieur du parallélogramme
La formule de laire base × hauteur peut également être dérivée en utilisant la figure de droite. La zone K du parallélogramme à droite (la zone bleue) est la surface totale du rectangle moins la surface des deux triangles orange. Laire du rectangle est
K rect = (B + A) × H {\ displaystyle K _ {\ text {rect}} = (B + A) \ times H \,}
et laire de un seul triangle orange est
K tri = 1 2 A × H. {\ displaystyle K _ {\ text {tri}} = {\ frac {1} {2}} A \ times H. \,}
Par conséquent, laire du parallélogramme est
K = K rect – 2 × K tri = ((B + A) × H) – (A × H) = B × H. {\ displaystyle K = K _ {\ text {rect}} – 2 \ fois K _ {\ text {tri}} = ((B + A) \ times H) – (A \ times H) = B \ times H.}
Une autre formule daire, pour deux côtés B et C et langle θ, est
K = B ⋅ C ⋅ sin θ. {\ displaystyle K = B \ cdot C \ cdot \ sin \ theta. \,}
Laire dun parallélogramme avec les côtés B et C (B ≠ C) et langle γ {\ displaystyle \ gamma} à lintersection de les diagonales sont données par
K = | tan γ | 2 ⋅ | B 2 – C 2 | . {\ displaystyle K = {\ frac {| \ tan \ gamma |} {2}} \ cdot \ left | B ^ {2} -C ^ {2} \ right |.}
Lorsque le parallélogramme est spécifié à partir de les longueurs B et C de deux côtés adjacents avec la longueur D1 de lune ou lautre diagonale, alors laire peut être trouvée à partir de la formule de Heron. Plus précisément, cest
K = 2 S (S – B) (S – C ) (S – D 1) {\ displaystyle K = 2 {\ sqrt {S (SB) (SC) (S-D_ {1})}}}
Aire en termes de coordonnées cartésiennes des sommetsEdit
Soit les points a, b, c ∈ R 2 {\ Displaystyle a, b, c \ in \ mathbb {R} ^ {2}}. Alors laire du parallélogramme avec les sommets en a, b et c est équivalente à la valeur absolue du déterminant dune matrice construite en utilisant a, b et c comme lignes avec la dernière colonne complétée en utilisant des uns comme suit:
K = | det |. {\ displaystyle K = \ left | \ det { \ begin {bmatrix} a_ {1} & a_ {2} & 1 \\ b_ {1} & b_ {2} & 1 \\ c_ {1} & c_ {2} & 1 \ end {bmatrix}} \ right |.}