Intérêts composés

Composition périodique Modifier

P ′ = P (1 + rn) nt {\ displaystyle P « = P \ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ right) ^ {nt}}

où:

P est la somme principale originale P » est la nouvelle somme principale r est le taux dintérêt annuel nominal n est la fréquence de composition t est la durée totale pendant laquelle lintérêt est appliqué (exprimée en utilisant les mêmes unités de temps que r, généralement des années).

Lintérêt composé total généré est la valeur finale moins le principal initial:

I = P (1 + rn) nt – P {\ displaystyle I = P \ left (1 + {\ frac {r} { n}} \ right) ^ {nt} -P}

Exemple 1Modifier

P ′ = 1 500 × (1 + 0,043 4) 4 × 6 ≈ 1 938,84 {\ displaystyle P « = 1 \, 500 \ times \ left (1 + {\ frac {0.043} {4}} \ right) ^ {4 \ times 6} \ approx 1 \, 938.84}

Donc le nouveau principal P ′ {\ displaystyle P « } après 6 ans équivaut à environ 1 938,84 $.

En soustrayant le principal dorigine de ce montant, on obtient le montant des intérêts reçus:

1 938,84 – 1 500 = 438,84 {\ displaystyle 1 \, 938,84-1 \, 500 = 438.84}

Exemple 2Modifier

P ′ = 1 500 × (1 + (0,043 × 2)) 6 2 ≈ 1 921,24 {\ displaystyle P « = 1 \, 500 \ fois \ left (1+ ( 0,043 \ fois 2) \ right) ^ {\ frac {6} {2}} \ approx 1 \, 921,24}

Donc, le solde après 6 ans est denviron 1 921,24 $.

Le montant de les intérêts reçus peuvent être calculés en soustrayant le principal de ce montant.

1 921,24 – 1 500 = 421,24 {\ displaystyle 1 \, 921,24-1 \, 500 = 421 .24}

Lintérêt est moindre par rapport au cas précédent, en raison de la fréquence de composition plus faible.

Fonction daccumulationEdit

Puisque le principal P est simplement un coefficient, il est souvent abandonné par souci de simplicité et la fonction daccumulation résultante est utilisée à la place. La fonction daccumulation montre à quoi $ 1 croît après nimporte quelle durée.

Les fonctions daccumulation pour les intérêts simples et composés sont

a (t) = 1 + rt {\ displaystyle a (t) = 1 + rt \,} a (t) = (1 + rn) nt {\ displaystyle a (t) = \ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ right) ^ {nt}}

Si nt = 1 {\ displaystyle nt = 1}, alors ces deux fonctions sont identiques.

Composition continue Modifier

Comme n , le nombre de périodes de composition par an augmente sans limite, le cas est appelé composition continue, auquel cas le taux annuel effectif sapproche dune limite supérieure de er – 1, où e est une constante mathématique qui est la base de la valeur naturelle logarithme.

La composition continue peut être considérée comme rendant la période de composition infinitésimale petite, obtenue en prenant la limite lorsque n va à linfini. Voir les définitions de la fonction exponentielle pour la preuve mathématique de cette limite. Le montant après t périodes de composition continue peut être exprimé en termes du montant initial P0 comme

P (t) = P 0 e r t. {\ displaystyle P (t) = P_ {0} e ^ {rt}.}

Force dintérêtEdit

Lorsque le nombre de périodes de composition n {\ displaystyle n} atteint linfini en composition continue, le taux dintérêt composé continu est appelé la force de lintérêt δ {\ displaystyle \ delta}.

En mathématiques, les fonctions daccumulation sont souvent exprimées en termes de e, la base du logarithme naturel. Cela facilite lutilisation du calcul pour manipuler les formules dintérêt.

Pour toute fonction daccumulation continuellement différentiable a (t), la force dintérêt, ou plus généralement le rendement logarithmique ou composé en continu est une fonction du temps définie comme suit:

δ t = a ′ (t) a (t) = ddt ln ⁡ a (t) {\ displaystyle \ delta _ {t} = {\ frac {a « (t)} {a (t )}} = {\ frac {d} {dt}} \ ln a (t)}

Cest le dérivé logarithmique de la fonction daccumulation.

Inversement:

a (t ) = e ∫ 0 t δ sds, {\ Displaystyle a (t) = e ^ {\ int _ {0} ^ {t} \ delta _ {s} \, ds} \,} (puisque a (0) = 1 {\ displaystyle a (0) = 1}; cela peut être considéré comme un cas particulier dune intégrale de produit).

Lorsque la formule ci-dessus est écrite au format déquation différentielle, alors la force dintérêt est simplement le coefficient de quantité de changement:

da (t) = δ ta (t) dt {\ displaystyle da (t) = \ delta _ {t} a (t) \, dt \,}

Pour les intérêts composés avec un taux dintérêt annuel constant r, la force de lintérêt est un constan t, et la fonction daccumulation des intérêts composés en termes de force dintérêt est une puissance simple de e:

δ = ln ⁡ (1 + r) {\ displaystyle \ delta = \ ln (1 + r) \, } ou a (t) = et δ {\ displaystyle a (t) = e ^ {t \ delta} \,}

La force de lintérêt est inférieure au taux dintérêt effectif annuel, mais supérieure à la décote annuelle effective évaluer. Cest linverse du temps de pliage électronique. Voir aussi la notation des taux dintérêt.

Base de compositionEdit

Pour convertir un taux dintérêt dune base de composition à une autre base de composition, utilisez

r 2 = n 2, {\ displaystyle r_ {2} = \ left {n_ {2}},}

où1 est le taux dintérêt avec une fréquence de composition n1, et r2 est le taux dintérêt avec une fréquence de composition n2.

Lorsque lintérêt est continuellement composé, utilisez

δ = n ln ⁡ (1 + rn), {\ displaystyle \ delta = n \ ln {\ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ right)},}

où δ {\ displaystyle \ delta} est le taux dintérêt sur une base de composition continue, andr est le taux dintérêt déclaré avec une fréquence de composition n.

Prêt mensuel amorti ou hypothèque paymentsEdit

Les intérêts sur les prêts et les hypothèques qui sont amortis, cest-à-dire dont le paiement mensuel est régulier jusquà ce que le prêt soit remboursé, sont souvent composés mensuellement. La formule de paiement se trouve à partir de largument suivant.

Formule exacte pour le paiement mensuelEdit

Une formule exacte pour le paiement mensuel (c {\ displaystyle c}) est

c = P r 1 – 1 (1 + r) n {\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1 – {\ frac {1} {(1 + r) ^ {n}}}}}}

ou équivalent

c = P r 1 – e – n ln ⁡ (1 + r) {\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1-e ^ {- n \ ln (1 + r)} }}}

où:

c {\ displaystyle c} = paiement mensuel P {\ displaystyle P} = principal r {\ displaystyle r} = taux dintérêt mensuel n {\ displaystyle n} = nombre de périodes de paiement

Cela peut être calculé en considérant le montant restant à rembourser après chaque mois.
Le principal restant après le premier mois est

P 1 = (1 + r) P – c, {\ displaystyle P_ {1} = (1 + r) Pc,}

cest-à-dire le montant initial plus les intérêts moins le paiement.
Si la totalité du prêt est remboursé après un mois, alors

P 1 = 0 {\ displaystyle P_ {1} = 0}, donc P = c 1 + r {\ displaystyle P = {\ frac {c} {1 + r}}}

Après le deuxième mois P 2 = (1 + r) P 1 – c {\ displaystyle P_ {2} = (1 + r) P_ {1} -c} est à gauche, donc

P 2 = (1 + r) ((1 + r) P – c) – c {\ Displaystyle P_ {2} = (1 + r) ((1 + r) Pc) -c}

Si tout le prêt a été remboursé après deux mois,

P 2 = 0 {\ displaystyle P_ {2} = 0}, donc P = c 1 + r + c (1 + r) 2 {\ displaystyle P = {\ frac {c} {1 + r}} + {\ frac {c} {(1 + r) ^ {2}}}} P = cr (1 – 1 (1 + r) n) {\ displaystyle P = {\ frac {c} {r}} \ left (1 – {\ frac {1} {(1 + r) ^ {n}}} \ right)}

qui peut être réorganisé pour donner

c = P r 1 – 1 (1 + r) n = P r 1 – e – n ln ⁡ (1 + r) {\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1 – {\ frac {1} { (1 + r) ^ {n}}}}} = {\ frac {Pr} {1-e ^ {- n \ ln (1 + r)}}}} Formule de feuille de calcul

Dans les feuilles de calcul, le PMT ( ) est utilisée. La syntaxe est la suivante:

PMT (taux_intérêt, nombre_paiements, valeur_actuelle, valeur_avenir,)

Voir Excel, Numéros Mac, LibreOffice, Open Office, Google Sheets pour plus de détails.

Par exemple, pour taux dintérêt de 6% (0,06 / 12), 25 ans * 12 pa, PV de 150 000 $, FV de 0, type de 0 donne:

= PMT (0,06 / 12, 25 * 12, -150000, 0, 0) = 966,45 $

Formule approximative pour le paiement mensuelModifier

c ≈ P r 1 – e – nr = P nnr 1 – e – nr {\ displaystyle c \ approx {\ frac {Pr} {1-e ^ {-nr}}} = {\ frac {P} {n}} {\ frac {nr} {1-e ^ {- nr}}}}

qui suggère de définir des variables auxiliaires

Y ≡ nr = IT {\ displaystyle Y \ equiv nr = IT} c 0 ≡ P n {\ displaystyle c_ {0} \ equiv {\ frac {P} {n}}}.

Ici, c 0 {\ displaystyle c_ {0}} est le paiement mensuel requis pour un prêt sans intérêt remboursé en n {\ displaystyle n} versements. En termes de ces variables, lapproximation peut sécrire

c ≈ c 0 Y 1 – e – Y, {\ displaystyle c \ approx c_ {0} {\ frac {Y} {1-e ^ {- Y}} },}

La fonction f (Y) ≡ Y 1 – e – Y – Y 2 {\ displaystyle f (Y) \ equiv {\ frac {Y} {1-e ^ {- Y}}} – { \ frac {Y} {2}}} est pair:

f (Y) = f (- Y) {\ displaystyle f (Y) = f (-Y)}

ce qui implique quil peut être développé en puissances paires de Y {\ displaystyle Y}.

Il sera alors pratique de définir

X = 1 2 Y = 1 2 IT {\ displaystyle X = {\ frac {1} { 2}} Y = {\ frac {1} {2}} IT}

pour que

c ≈ c 0 2 X 1 – e – 2 X {\ displaystyle c \ approx c_ {0} {\ frac {2X} {1-e ^ {- 2X}}}}

qui peut être développé:

c ≈ c 0 (1 + X + X 2 3 – 1 45 X 4 +…) {\ displaystyle c \ approx c_ {0} \ left (1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {3}} – {\ frac {1} {45}} X ^ {4} + … \ right)}

où les ellipses indiquent des termes dordre supérieur en puissances paires de X {\ displaystyle X}. Lexpansion

P ≈ P 0 (1 + X + X 2 3) {\ displaystyle P \ approx P_ {0} \ left (1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {3}} \ right)}

vaut mieux que 1% à condition que X ≤ 1 {\ displaystyle X \ leq 1}.

Exemple de paiement hypothécaireModifier

Pour une hypothèque de 10 000 $ avec un terme de 30 ans et un taux de note de 4,5%, payable annuellement, on retrouve:

T = 30 {\ displaystyle T = 30} I = 0.045 {\ displaystyle I = 0,045}

ce qui donne

X = 1 2 IT = 0,675 {\ displaystyle X = {\ frac {1} {2}} IT = 0,675}

de sorte que

P ≈ P 0 (1 + X + 1 3 X 2) = 333,33 $ (1 + 0,675 + 0,675 2/3) = 608,96 $ {\ displaystyle P \ approx P_ {0} \ gauche (1 + X + {\ frac {1} {3}} X ^ {2} \ right) = \ $ 333,33 (1 + 0,675 + 0,675 ^ {2} / 3) = \ 608,96 $}

Investissement: dépôts mensuelsModifier

Étant donné un dépôt principal (initial) et un dépôt récurrent, le rendement total dun investissement peut être calculé via lintérêt composé gagné par unité de temps. Si nécessaire, les intérêts sur les dépôts supplémentaires non récurrents et récurrents peuvent également être définis dans la même formule (voir ci-dessous).

P {\ displaystyle P} = Dépôt principal r {\ displaystyle r} = Taux de rendement ( mensuel) M {\ displaystyle M} = Dépôt mensuel, et t {\ displaystyle t} = Temps, en mois M (1 + r) t – 1 r + P (1 + r) t {\ displaystyle M {\ frac { (1 + r) ^ {t} -1} {r}} + P (1 + r) ^ {t}}

Si deux ou plusieurs types de dépôts se produisent (récurrents ou non récurrents), le composé les intérêts gagnés peuvent être représentés par

M (r + 1) t – 1 r + P (r + 1) t + k (r + 1) t – x – 1 r + C (r + 1) t – y {\ Displaystyle M {\ frac {(r + 1) ^ {t} -1} {r}} + P (r + 1) ^ {t} + k {\ frac {(r + 1) ^ {tx } -1} {r}} + C (r + 1) ^ {ty}} où C et k sont des dépôts non récurrents et récurrents, respectivement, et x et y sont les différences de temps entre un nouveau dépôt et nimporte quelle variable t {\ displaystyle t} est une modélisation.