La distribution exponentielle est lune des distributions continues largement utilisées. Il est souvent utilisé pour modéliser le temps écoulé entre les événements. Nous allons maintenant définir mathématiquement la distribution exponentielle et en déduire sa moyenne et sa valeur attendue. Ensuite, nous développerons lintuition de la distribution et discuterons de plusieurs propriétés intéressantes quelle possède.

La figure 4.5 montre le PDF de distribution exponentielle pour plusieurs valeurs de $ \ lambda $.

Soit $ X \ sim Exponentiel (\ lambda) $. Nous pouvons trouver sa valeur attendue comme suit, en utilisant lintégration par parties:

Trouvons maintenant Var $ (X) $. Nous avons

Ainsi, on obtient $$ \ textrm {Var} (X) = EX ^ 2- (EX) ^ 2 = \ frac {2} {\ lambda ^ 2} – \ frac {1} {\ lambda ^ 2} = \ frac { 1} {\ lambda ^ 2}. $$

Une propriété intéressante de la distribution exponentielle est quelle peut être considérée comme un analogue continu Pour voir cela, rappelez lexpérience aléatoire derrière la distribution géométrique: vous lancez une pièce (répétez une expérience de Bernoulli) jusquà ce que vous observiez les premières têtes (succès). Maintenant, supposons que les lancers de pièces soient $ \ Delta $ secondes dintervalle et à chaque tirage, la probabilité de succès est $ p = \ Delta \ lambda $. Supposons également que $ \ Delta $ est très petit, donc les lancements de pièces sont très rapprochés dans le temps et la probabilité de succès dans chaque essai est très faible. Soit $ X $ lheure à laquelle vous observez le sapin premier succès. Nous montrerons dans la section Problèmes résolus que la distribution de $ X $ converge vers $ Exponential (\ lambda) $ lorsque $ \ Delta $ sapproche de zéro.

Pour avoir une certaine intuition pour cette interprétation de la distribution exponentielle , supposons que vous attendiez quun événement se produise. Par exemple, vous êtes dans un magasin et attendez le prochain client. Dans chaque milliseconde, la probabilité quun nouveau client entre dans le magasin est très faible. Vous pouvez imaginer que, à chaque milliseconde, une pièce (avec un très petit $ P (H) $) est lancée, et si elle tombe en tête, un nouveau client entre. Si vous lancez une pièce toutes les millisecondes, le temps jusquà larrivée dun nouveau client suit approximativement une distribution exponentielle.

Linterprétation ci-dessus de lexponentielle est utile pour mieux comprendre les propriétés de la distribution exponentielle. La plus importante de ces propriétés est que la distribution exponentielle est sans mémoire. Pour voir cela, pensez à une variable aléatoire exponentielle dans le sens de lancer beaucoup de pièces jusquà observer les premières têtes. Si nous lançons la pièce plusieurs fois et que nous nobservons pas de tête, cest à partir de maintenant que nous recommençons. En dautres termes, les lancers de pièces ratés nont plus dimpact sur la répartition du temps dattente désormais. La raison en est que les tirages au sort sont indépendants. Nous pouvons le déclarer formellement comme suit: $$ P (X > x + a | X > a) = P (X > x). $$

Du point de vue du temps dattente jusquà larrivée dun client, la propriété sans mémoire signifie que peu importe le temps que vous avez attendu jusque là. Si vous navez pas observé de client avant lheure $ a $, la répartition du temps dattente (à partir du moment $ a $) jusquau prochain client est la même que lorsque vous avez commencé à lheure zéro. Prouvons la propriété sans mémoire de la distribution exponentielle. \ Begin {align}% \ label {} \ nonumber P (X > x + a | X > a) & = \ frac {P \ big (X > x + a, X > a \ big)} {P (X > a)} \\ \ nonumber & = \ frac {P (X > x + a)} {P (X > a)} \\ \ nonumber & = \ frac {1-F_X (x + a)} {1-F_X (a)} \\ \ nonumber & = \ frac {e ^ { – \ lambda (x + a)}} {e ^ {- \ lambda a}} \\ \ nonumber & = e ^ {- \ lambda x} \\ \ nonumber & = P (X > x). \\ \ end {align}