Archimède

Ses oeuvres

Il existe neuf traités dArchimède en grec. Les principaux résultats dans Sur la sphère et le cylindre (en deux livres) sont que la surface de toute sphère de rayon r est quatre fois celle de son plus grand cercle (en notation moderne, S = 4πr2) et que le volume dune sphère est les deux tiers de celui du cylindre dans lequel il est inscrit (conduisant immédiatement à la formule du volume, V = 4 / 3πr3). Archimède était assez fier de cette dernière découverte pour laisser des instructions pour que sa tombe soit marquée dune sphère inscrite dans un cylindre. Marcus Tullius Cicero (106–43 avant notre ère) a trouvé la tombe, envahie par la végétation, un siècle et demi après la mort dArchimède.

La mesure du cercle est un fragment dun travail plus long dans lequel π (pi), le rapport de la circonférence au diamètre dun cercle, se situe entre les limites de 3 10/71 et 3 1/7. Lapproche dArchimède pour déterminer π, qui consiste à inscrire et circonscrire des polygones réguliers avec un grand nombre de côtés, a été suivie par tout le monde jusquau développement dextensions de séries infinies en Inde au XVe siècle et en Europe au XVIIe siècle. Ce travail contient également des approximations précises (exprimées sous forme de rapports dentiers) aux racines carrées de 3 et de plusieurs grands nombres.

Sur les conoïdes et les sphéroïdes traite de la détermination des volumes des segments de solides formés par la révolution de une section conique (cercle, ellipse, parabole ou hyperbole) autour de son axe. En termes modernes, ce sont des problèmes dintégration. (Voir le calcul.) Sur Spirals développe de nombreuses propriétés des tangentes et des zones associées à la spirale dArchimède – cest-à-dire le lieu dun point se déplaçant à une vitesse uniforme le long dune ligne droite qui elle-même tourne à une vitesse uniforme autour dun point fixe . Cétait lune des rares courbes au-delà de la ligne droite et des sections coniques connues dans lantiquité.

Sur léquilibre des plans (ou centres de gravité des plans; dans deux livres) est principalement concerné par létablissement de la centres de gravité de diverses figures planes rectilignes et segments de la parabole et de la paraboloïde. Le premier livre prétend établir la «loi du levier» (les grandeurs séquilibrent à des distances du point dappui en raison inverse de leurs poids), et cest principalement sur la base de ce traité quArchimède a été appelé le fondateur de la mécanique théorique. Une grande partie de ce livre, cependant, nest sans aucun doute pas authentique, consistant comme il le fait à des ajouts ou des remaniements ultérieurs ineptes, et il semble probable que le principe de base de la loi du levier et – peut-être – le concept de centre de gravité aient été établis. sur une base mathématique par des savants antérieurs à Archimède. Sa contribution était plutôt détendre ces concepts aux sections coniques.

La quadrature de la parabole démontre, dabord par des moyens «mécaniques» (comme dans la méthode, discutée ci-dessous) et puis par des méthodes géométriques conventionnelles, que laire de tout segment dune parabole est 4/3 de laire du triangle ayant la même base et la même hauteur que ce segment. Cest là encore un problème dintégration.

Le Sand-Reckoner est un petit traité qui est un jeu desprit écrit pour le profane – il sadresse à Gelon, fils de Hieron – qui contient néanmoins des mathématiques profondément originales. Son objet est de remédier aux insuffisances du système de notation numérique grecque en montrant comment exprimer un nombre énorme – le nombre de grains de sable quil faudrait pour remplir lensemble de lunivers. Ce que fait Archimède, en effet, cest de créer un système de notation par valeur de position, avec une base de 100 000 000. (Cétait apparemment une idée complètement originale, car il navait aucune connaissance du système de valeur de position babylonien contemporain avec base 60.) Louvrage est également intéressant car il donne la description la plus détaillée qui subsiste du système héliocentrique dAristarque de Samos ( c. 310–230 avant notre ère) et parce quil contient un compte rendu dune procédure ingénieuse quArchimède a utilisée pour déterminer le diamètre apparent du Soleil par observation avec un instrument.

Méthode concernant les théorèmes mécaniques décrit un processus de découverte en mathématiques . Cest le seul ouvrage de lAntiquité qui subsiste, et lun des rares de toutes les époques, à traiter de ce sujet.Archimède y raconte comment il a utilisé une méthode «mécanique» pour arriver à certaines de ses découvertes clés, y compris laire dun segment parabolique et laire et le volume dune sphère. La technique consiste à diviser chacune de deux figures en un infini mais nombre égal de bandes infiniment minces, puis « pesant » chaque paire correspondante de ces bandes lune contre lautre sur une balance fictive pour obtenir le rapport des deux figures originales. Archimède souligne que, bien quutile comme méthode heuristique, cette procédure ne constitue pas une preuve rigoureuse.

On Floating Bodies (dans deux livres) ne survit que partiellement en grec, le reste en traduction latine médiévale du grec . Il sagit du premier ouvrage connu sur lhydrostatique, dont Archimède est reconnu comme le fondateur. Son but est de déterminer les positions que prendront différents solides lorsquils flottent dans un fluide, en fonction de leur forme et de la variation de leur densité. Dans le premier livre, divers principes généraux sont établis, notamment ce que l’on appelle désormais le principe d’Archimède: un solide plus dense qu’un fluide sera, immergé dans ce fluide, plus léger par le poids du fluide qu’il déplace. Le deuxième livre est un tour de force mathématique inégalé dans lAntiquité et rarement égalé depuis. Archimède y détermine les différentes positions de stabilité quun paraboloïde droit de révolution assume lorsquil flotte dans un fluide de plus grande gravité spécifique, selon des variations géométriques et hydrostatiques.

Archimède est connu, à partir de références dauteurs postérieurs, davoir écrit un certain nombre dautres œuvres qui nont pas survécu. Les traités de catoptrie sont particulièrement intéressants, dans lesquels il a discuté, entre autres, du phénomène de la réfraction; sur les 13 polyèdres semi-réguliers (archimédiens) (ces corps délimités par des polygones réguliers, pas nécessairement tous du même type, qui peuvent être inscrits dans une sphère); et le « Problème du bétail » (conservé dans une épigramme grecque), qui pose un problème en analyse indéterminée, avec huit inconnues. En plus de celles-ci, survivent plusieurs ouvrages en traduction arabe attribués à Archimède qui ne peuvent avoir été composés par lui dans leur forme actuelle, bien qu’ils puissent contenir des éléments «archimédiens». Celles-ci incluent un travail sur linscription de lheptagone régulier dans un cercle; une collection de lemmes (propositions supposées vraies qui sont utilisées pour prouver un théorème) et un livre, On Touching Circles, tous deux ayant à voir avec la géométrie plane élémentaire; et le Stomachion (dont certaines parties survivent également en grec), traitant dun carré divisé en 14 pièces pour un jeu ou un puzzle.

Les preuves mathématiques et la présentation dArchimède font preuve dune grande audace et originalité de pensée sur lun main et extrême rigueur dautre part, répondant aux plus hauts standards de la géométrie contemporaine. Alors que la Méthode montre quil est arrivé aux formules pour la surface et le volume dune sphère par un raisonnement «mécanique» impliquant des infinitésimaux, dans ses preuves réelles des résultats dans Sphère et Cylindre, il nutilise que les méthodes rigoureuses dapproximations finies successives qui avaient ont été inventées par Eudoxe de Cnide au IVe siècle avant notre ère. Ces méthodes, dont Archimède était un maître, sont la procédure standard dans tous ses travaux sur la géométrie supérieure qui traitent de la preuve des résultats sur les surfaces et les volumes. Leur rigueur mathématique contraste fortement aux «preuves» des premiers praticiens du calcul intégral au XVIIe siècle, lorsque les infinitésimaux ont été réintroduits dans les mathématiques. Pourtant, les résultats d’Archimède ne sont pas moins impressionnants que les leurs. La même liberté par rapport aux modes de pensée conventionnels est apparente dans le domaine arithmétique de Sand-Reckoner, qui montre une compréhension profonde de la nature du système numérique.

Dans lantiquité, Archimède était également connu comme un astronome exceptionnel: ses observations des solstices ont été utilisées par Hipparque (florissant vers 140 avant notre ère), le plus ancien astronome. On en sait très peu sur cet aspect de l’activité d’Archimède, bien que Sand-Reckoner révèle son vif intérêt astronomique et sa capacité d’observation pratique. On lui a cependant transmis un ensemble de nombres qui lui ont été attribués donnant les distances des différents corps célestes de la Terre, qui se sont avérés être basés non pas sur des données astronomiques observées mais sur une théorie «pythagoricienne» associant les intervalles spatiaux entre les planètes avec des intervalles musicaux. Aussi surprenant quil soit de trouver ces spéculations métaphysiques dans le travail dun astronome pratiquant, il y a de bonnes raisons de croire que leur attribution à Archimède est correcte.